skanowanie0007 3

Opis teoretyczny :

Iteracyjne metody rozwiązywania układów równań - Metoda Jacobiego

Niech A będzie macierzą kwadratową nieosobliwą o wymiarze n*n, zaś B wektorem o wymiarze n.

Aby obliczyć rozwiązanie x układu równań o macierzy A i wektorze b tzn. Ax=b metodą Jacobiego postępujemy w następujący sposób:

> dzielimy macierz A na sumę trzech macierzy: A=L+D+U, gdzie L jest trójkątna dolna, D jest diagonalna zaś U jest trójkątna górna. n=4

~ ^a\	au	^an	^ai4		'0	0	0	0"		du	0	0	0 "		"0	U\2	^u\3	U{4~
^a2\	d22	®23	^a24	=	h, h\	0 ^32	0	0	+	0	d22	0	0	+	0	0	^U23	u24
^az\	^a32	^a33	^aZ4				0	0		0	0	^33	0		0	0	0	^U34
_a4l	a42	°-43	^a44_			h2	hz	0		_ 0	0	0	1_		0	0	0	0

> nasze równanie wygląda teraz następująco: Lx+Dx+Ux=b.

"0	0	0	0"	X,		du	0	0	0 "	v		“0	^U\ 2	^U\3	W] 4	V		v
^21 ^31	0 ^32	0	0	x2	+	0	d22	0	0	x2	+	0	0	^U22>	^W24	x2		b2
		0	0	*3		0	0	^33	0	x3		0	0	0	^U34	x3		b.
_^41	^42	'43	0_	_^x4_		0	0	0	1 ■rr	_^X4.		0	0	0	0	_*4_		1 L_

> przekształcamy równanie do postaci: Dx=b-(L+U)x

du	0	0	0 "	X,				f	"0	0	0	0“		"0	^U12	^U\3	je £ _1	\	X,
0	d12 0	0	0	x2		^b2			^21 /3i	0	0	0	+	0	0	^U23	^W24		x2
0		“33	0	x3		b3				^32	0	0		0	0	0	W34		x3
0	0	0	-1 'Tf	_*4_		^b4_			A	/42	^43	0_		0	0	0	0	/	_*4_