Opis teoretyczny :
Iteracyjne metody rozwiązywania układów równań - Metoda Jacobiego
Niech A będzie macierzą kwadratową nieosobliwą o wymiarze n*n, zaś B wektorem o wymiarze n.
Aby obliczyć rozwiązanie x układu równań o macierzy A i wektorze b tzn. Ax=b metodą Jacobiego postępujemy w następujący sposób:
> dzielimy macierz A na sumę trzech macierzy: A=L+D+U, gdzie L jest trójkątna dolna, D jest diagonalna zaś U jest trójkątna górna. n=4
~ a\ |
au |
an |
ai4 |
'0 |
0 |
0 |
0" |
du |
0 |
0 |
0 " |
"0 |
U\2 |
u\3 |
U{4~ | |||
a2\ |
d22 |
®23 |
a24 |
= |
h, h\ |
0 ^32 |
0 |
0 |
+ |
0 |
d22 |
0 |
0 |
+ |
0 |
0 |
U23 |
u24 |
az\ |
a32 |
a33 |
aZ4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
^33 |
0 |
0 |
0 |
0 |
U34 | |||||
_a4l |
a42 |
°-43 |
a44_ |
h2 |
hz |
0 |
_ 0 |
0 |
0 |
1_ |
0 |
0 |
0 |
0 |
> nasze równanie wygląda teraz następująco: Lx+Dx+Ux=b.
"0 |
0 |
0 |
0" |
X, |
du |
0 |
0 |
0 " |
v |
“0 |
U\ 2 |
U\3 |
W] 4 |
V |
v | |||
^21 ^31 |
0 ^32 |
0 |
0 |
x2 |
+ |
0 |
d22 |
0 |
0 |
x2 |
+ |
0 |
0 |
U22> |
W24 |
x2 |
b2 | |
0 |
0 |
*3 |
0 |
0 |
^33 |
0 |
x3 |
0 |
0 |
0 |
U34 |
x3 |
b. | |||||
_^41 |
^42 |
'43 |
0_ |
_x4_ |
0 |
0 |
0 |
1 ■rr |
_X4. |
0 |
0 |
0 |
0 |
_*4_ |
1 L_ |
> przekształcamy równanie do postaci: Dx=b-(L+U)x
du |
0 |
0 |
0 " |
X, |
f |
"0 |
0 |
0 |
0“ |
"0 |
U12 |
U\3 |
je £ _1 |
\ |
X, | ||||
0 |
d12 0 |
0 |
0 |
x2 |
b2 |
^21 /3i |
0 |
0 |
0 |
+ |
0 |
0 |
U23 |
W24 |
x2 | ||||
0 |
“33 |
0 |
x3 |
b3 |
^32 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
W34 |
x3 | |||||||
0 |
0 |
0 |
-1 'Tf |
_*4_ |
b4_ |
A |
/42 |
^43 |
0_ |
0 |
0 |
0 |
0 |
/ |
_*4_ |