79401 img009 (57)

2, METODY DOKŁADNE ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH

Tematem tego rozdziału są metody dokładne wyznaczania rozwiązań równań postaci

Ax = b,    (2.1)

gdzie A jest daną macierzą «xn-wymiarową o elementach będących liczbami rzeczywistymi

^all	^a\2 '	'' ^a\n
^a2\	^a22 '	” ^a2n
^an\	^an2 '	^ann

(2.2)

b = (b_{,b₂,---,b_n)^T e R" jest wektorem wyrazów wolnych, natomiast x = (x_l,x₂,---,x_n f jest wektorem niewiadomych należącym do przestrzeni R". W zapisie we współrzędnych równanie (2.1) przyjmuje postać układu

^J2 n

(2.3)

^all ^a\2 ^a2\ ^a22

_^an\ 0„2

n równań z n niewiadomymi.

Jak wiadomo z podstawowego kursu algebry liniowej [2, 16], równanie (2.1) ma dokładnie jedno rozwiązanie, oznaczane przez jc*, wtedy i tylko wtedy, gdy det A * 0. Warunek ten jest równoważny założeniu, że rząd macierzy współczynników A, jej rząd wierszowy lub równoważnie rząd kolumnowy, jest równy jej wymiarowi n. Wektor rozwiązania jc* jest dany w tym przypadku wzorem

x* = A~^] b ,    (2.4)

gdzie /T'jest macierzą odwrotną do macierzy A.

Gdy macierz współczynników A układu równań liniowych (2.3) jest macierzą osobliwą (rząd A = r <n), to zbiór rozwiązań układu równań tworzy podprzestrzeń afmiczną o wymiarze n-r przestrzeni R" lub jest zbiorem pustym [2, 16].

W zastosowaniach rozważa się też układy równań liniowych, w których liczba równań m jest większa od wymiaru n przestrzeni, w której poszukuje się rozwiązań. Macierz współczynników A układu równań A ■ x = b jest wtedy macierzą prostokątną o wymiarze m x n, gdzie m > n . W tym przypadku dowodzi się [20], że jeżeli

(2.5)

det(^^r • a)&0