197

197

16. Modelowanie równania różniczkowego

Niech będzie dane równanie różniczkowe stopnia n ze stałymi współczynnikami

cl'¹ v    lⁿ~*    d

-TT(^,) ⁺ a»-1    r(0 + - + aI (0 + O₀ y(t) = b(t)    (16.1)

dt    dt    dt

z warunkami początkowymi

ill — \    i

f(°) =    --f(0)    = y,,    y(0) = y₀.    (16.2)

dt    dt

Równanie (16.1) rozwiązuje się względem najwyższej pochodnej. Po wyłączeniu najwyższej pochodnej na prawą stronę równania otrzymujemy następującą postać

(t) = -a„_,    f (t)-...-a, ^f(t)-a₀ y(t) + b(t)    (16.3)

dt    dt    dt

d‘y dt'

lub - po przyjęciu oznaczenia y^u) =

(0 - wygodniejszą do zapisu postać

y^lH) =-a„_, y^,,"^l)    .v⁽" -a₀ y⁽⁰⁾ +b(t).    (16.4)

Łączymy szeregowo n integratorów, na wyjściu których otrzymujemy całki poszczególnych stopni. Na wyjściu ostatniego integratora pojawia się poszukiwana wartość funkcji y(t). Prawa strona równania (16.3) stanowi sumę poszczególnych pochodnych, z odpowiednimi wartościami współczynników (rys. 16.10). Występujące na schemacie bloki wzmocnienia Gain(i) mają współczynnik k_t odpowiadający wartości współczynników a, w równaniu (16.4).

Jeżeli otrzymane przebiegi poszczególnych składowych będą się znacznie różniły wartościami, niektóre z nich staną się nieczytelne na wspólnym wykresie. Dlatego w celu poprawienia tej czytelności można wprowadzić skalowanie amplitudy poszczególnych pochodnych [2].

Przyjmując, że znane są bezwzględne wartości maksymalne pochodnych y^(,) ,

I im

podstawiamy je do zależności (16.4) i otrzymujemy wzór

,(«>

<M-I)

(»)l y

,<i>

■«o \y

(0)i y

(0)

(16.5)

,(0)

- + b(t).