0155

157

8 I. Długość krzywej

Niech teraz będzie dane dowolne równanie postaci (14). (Zakładamy tylko, że funkcja g(s) jest ciągła). Wtedy określając najpierw kąt * wzorem (18), a następnie x i y wzorami (20). otrzymamy równania parametryczne pewnej krzywej. Różniczkując stronami równości (2) dostajemy wzory (19). z których widzimy przede wszystkim, że

ds² = dx¹ + dy²,

a więc ds jest rzeczywiście elementem luku tej krzywej, a i — długością luku (jeśli tylko odpowiednio wybierzemy punkt początkowy). Następnie te same równości (19) prowadzą do wniosku, że a jest kątem, jaki tworzy z osią x styczna do tej krzywej. Wreszcie różniczkując stronami wzór (18), znajdujemy, że krzywizna krzywej jest równa

da

ds

= 0(s)

i w ten sposób okazuje się, że równanie (14) jest rzeczywiście równaniem naturalnym krzywej. A więc każde równanie postaci (14). gdzie g(s) jest funkcją ciągłą, można uważać za równanie naturalne pewnej krzywej.

Zwracamy uwagę na to, że zmieniając punkt początkowy lub kierunek liczenia luku na krzywej można wprowadzić pewne zmiany (co prawda nieistotne) w równaniu naturalnym krzywej.

Na zakończenie zauważmy jeszcze, że dwie krzywe położone symetrycznie (’) (rys. 13) mają równania naturalne postaci (14), różniące się tylko znakiem prawej strony:

(21)

i -^{91 s)}

Rzeczywiście, przy zgodnym wyborze punktów początkowych i kierunków liczenia łuku na obu krzywych ich promienie krzywizny będą miały znaki przeciwne. Na odwrót, dwie krzywe o równaniach naturalnych (21) można za pomocą ruchu w płaszczyźnie doprowadzić do położenia symetrycznego. Można uważać, że także takie dwie krzywe nie różnią się od siebie kształtem w sposób istotny.

333. Przykłady. 1) Znaleźć krzywą, która ma równanie naturalne R^zm2tu. Mamy tu

-V*'-

). ■' =

da __l_

ds

(') Samym przesunięciem po płaszczyźnie nie można nałożyć jednej z nich na drugą: do tego potrzebny jest obrót w przestrzeni.

(²) Ponieważ chodzi nam o znalezienie chociażby jednej krzywej, będziemy wybierali stałe całkowania tak, jak nam najwygodniej. Należy o tym pamiętać także w przyszłości.