img120

120

4.1. Niech oć będzie dowolny liczbę rzeczywisty. Utwórzmy zbiory

^Ai ■ i^,Ł2<.,b> ¹    *

*2 * l^,£Z<^b> ^! *<*>>*}

Zgodnie z twierdzeniem 4.2 wyetarczy pokazać, że zbiory te 5? otwarte w przestrzeni C <e,b> . Niech więc g e A_J# tzn.

b

J g(t)dt ■ f)<<C

m

Wówczas kula K(g.PV* A) -jheZ    :    «ax I h(x)-g(x)l <    {

^Ł z a,b> xc <«,b>    ^D“^a >

jest zewerta w zbierze A^. Istotnie, Jeśli heK(g, * to

b    b

f h(t)dt ^    ( g(t)dt ♦ (b-a) max \ h(x)-g(x)l< ♦(*c£

i    <1    xc<s,b>    ¹    • ^D *

co oznacza, że hfiA^. .

Zbiór A^ jest więc zbiorem otwartym w przestrzeni C 4 a , b > . Zupełnie podobnie można stwierdzić, że zbiór A₂ Jest też otwarty w C <a,b > .

4.2. Przestrzeń (Z,d) nie jest kompaktem, a zatea Istnieje ci;g x,l,.,. punktów zbioru Z, z którego nie można wybrać podcięgu zbieżnego. Wynika stęd, źe istnieje liczba dodatnia r, taka, że odległość

k    1 2    *

punktu x od pozostałych elementów-ciygu x,k,.«. Jest co najmniej

równe 2r_k

d(x,x) > 2r,

dla 1 i k {k»l,2,...)

f(x)

Kule K(x,r_k), k • i,2,.,. sy więc rozłęczne. Utwórzmy teraz funkcję t :Z-w R okreś.

wzorem
k[rk - d(x,x)j7£	dla xtR(xłrk), k • 1,2,...
	oo
0 dla x tZ\	n ^R(^^rk>
	km{
Z jx —wd(xf&) jest	cięgła « zbiorze 7 (zobacz

C2enle 2.2’, więc f Jest cięgła w każdej kuli dis xe3(x,r_k). 2atem funkcja f

K(x ,r.

Jest cięgła w zblorzo ona jednak funkcję ojgraniczonę, bo f(x) - k dla k > 1,2,...

Mar.y też f(x>*0 Z. Nie jeat

Z można pokryć akoó-- sieci 1 eajycych promienie

4.3. Z twierdzenia HauedorTfa wynika, że zbiór Ci.pny i'o*cię kul o środkach w punktach —