45126 img464 (3)

Niech P będzie dowolnym punktem hiperboli. Możemy więc przyjąć, że

⁽ 1 1

x_0i — , x₀ z O. Znajdźmy teraz równanie stycznej m do tej hiperboli, popro-

, ' ^xo J

wadzonej w punkcie P. Ponieważ

więc

/'(* o)=-

(*o)^;

zatem:

skąd mamy:

m: y - -

(xq)

;X +

^xo

Wyznaczmy teraz punkty przecięcia stycznej m z osiami układu współrzędnych.

2

Jeżeli x = 0, to otrzymujemy y = —, a jeśli y = 0, to x = 2x₀. Zatem styczna

^xo f ^ ^

m przecina osie układu w punktach A Pole trójkąta ABO jest równe: S = 1 •

0,

V

2_ xo

*0

oraz B (2x₀, 0).

12x₀ [ = 2 (wartości bezwzględnej

użyliśmy dlatego, że liczby —i 2x₀ mogą być ujemne).

*o

Jak widać, pole to nie zależy w ogóle od x₀, a więc jest wielkością stałą (równą 2), niezależną od wyboru punktu styczności.

Uwaga.

Zauważ, że słowo „styczna” nabrało tutaj nowego znaczenia. Do tej pory styczna do danej figury to była prosta, która miała tylko jeden punkt wspólny z tą figurą (np. styczna do okręgu). Jak widać na rysunku na str. 95, omawiana w przykładzie 9a styczna ma więcej niż jeden punkt wspólny z krzywą, do której jest styczna, a styczna z przykładu 9b nawet przecina wykres funkcji w punkcie styczności. Z kolei prosta x = 0 ma z parabolą y = x² tylko jeden punkt wspólny, a nie jest styczną do tej paraboli. Intuicyjnie będziemy rozumieli, że prosta / jest styczna do krzywej y = /(x) w punkcie P(x₀, /(x₀)), jeśli w pewnym otoczeniu tego punktu punkty należące do tej stycznej, których odcięte należą do tego otoczenia, najlepiej „przybliżają” tę krzywą. Jeśli tak będziemy rozumieli styczność, to łatwiej będzie zrozumieć przykład 9b. Styczna to jest ta z pęku prostych przechodzących przez punkt P(0, 0), której krótki odcinek o środku w punkcie P najlepiej przybliża punkty wykresu funkcji /(x) = x³ - 3x.

ROZDZIAŁ 3.

Zastosowania pochodnej funkcji

3.1. Pochodna funkcji a monotoniczność funkcji

Fundamenty pod praktyczne zastosowania pochodnej funkcji położyły dwa bardzo ważne twierdzenia udowodnione przez francuskich matematyków: Mi-chela Rolle’a (1652-1719) i Josepha Louisa Lagrange’a [wym. żozefa lui lagraża] (1736-1813). Omówimy tutaj twierdzenie Lagrange’a, gdyż twierdzenie Rolle’a jest jego szczególnym przypadkiem (aczkolwiek historycznie rzecz ujmując, ono zostało udowodnione pierwsze).

Załóżmy, że funkcja / jest ciągła w pewnym przedziale domkniętym (o, b) oraz różniczkowalna w przedziale otwartym (a, b). Poprowadźmy prostą sieczną wykresu tej funkcji przez punkty P(a, f(a)) oraz Q(b, /(£>)):

Lagrange udowodnił, że wtedy istnieje taka liczba c e (a, b), że styczna do wykresu tej funkcji poprowadzona w punkcie R(c, f(c)) jest równoległa do siecznej PQ.

Omówiliśmy wyżej sens geometryczny twierdzenia Lagrange’a. Zapiszmy tezę twierdzenia w sposób algebraiczny. W tym celu zwróćmy uwagę na to, że rów-