0060

0060



61


§ 3. Ciąg monofoniczny

Uwaga. Niech c będzie dowolną liczbą dodatnią; przyjmijmy x, = cy, i zastąpmy poprzedni związek rekurencyjny związkiem następującym:

,v»+i=y«(2—cy,).

Biorąc wartość początkową >>0 z przedziału (0,1/c) otrzymujemy, że y„ rośnie monotonicznie i dąży do 1/c. Za pomocą tego schematu liczymy na maszynach matematycznych odwrotność liczby c.

4) Niech dane będą dwie liczby dodatnie a i b (a>b). Utwórzmy średnią arytmetyczną i średnią geometryczną tych liczb:

a i=-


a + b


b,=yjab.


Wiadomo, że pierwsza średnia jest większa niż druga ('); jednocześnie obie są zawarte pomiędzy wyjściowymi liczbami:

a>ai>bl>b.

Dla liczb a i i bx znowu tworzymy obie średnie:

Oi+bi    ;——

Q2----,    O2—y

przy czym

a1>a2>b2>b1

itd. Jeżeli liczby a, i bn są już określone, toaItI i h„+l określamy ze wzorów

an+b, k    / u~

On+l----. b„+i—y/a„bn

i, jak poprzednio, mamy

Qn> O, + l>b„+ i >ÓB .

Tą metodą utworzyliśmy dwa ciągi {a„} i {£>„}, z których pierwszy jest malejący, a drugi rosnący. Jednocześnie

a>a„>b„>b,

czyli obydwa te ciągi są ograniczone, a więc obydwa mają granice skończone

a=)im a„ i /l=lim b„.

Jeżeli w równości

a„+b„

--


przejdziemy do granicy, to otrzymamy

*+fi . , B

a=    skąd a==?j8.

Tak więc, obydwa ciągi — i średnich arytmetycznych a,, i średnich geometrycznych b„ — dążą do wspólnej granicy    b). Idąc za C. F. Gaussem nazywamy ją średnią arytmetyczno-geometrycz-

wyjściowych liczb a i b. Nie możemy teraz wyrazić liczby fi{a,b) przez a i b — do tego celu potrzebna jest tzw. całka eliptyczna (por. tom drugi).

(*) Wynika to od razu z nierówności

i(a+6)-V«*=T(a-2Vfl*+*)=l(V"-V*)2>0 <dla «**)•


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
61 § 3. Ciąg monofoniczny Uwaga. Niech c będzie dowolną liczbą dodatnią; przyjmijmy x, = cy„ i zastą
Untitled 18 35] § 3. Ciąg monotoniczny61 Uwaga. Niech c będzie dowolną liczbą dodatnią; przyjmijmy x
Wykład 102.10.2007 Niech d będzie dowolną liczbą naturalną.Rd={(*1, ■ • •, xd); xi e R A i e 1, d}.
Wykład 209.10.2007 Niech d będzie dowolną liczbą naturalną. Twierdzenie 2.1 Rd nie jest ciągowo zwar
P051111 28 Definicja (minor macierzy) Niech A będzie dowolną macierzą wymiaru mxn oraz niech l<A
45126 img464 (3) Niech P będzie dowolnym punktem hiperboli. Możemy więc przyjąć, że( 1 1 x0i — , x0
zdjecie0018 § 3. cuc hisscotczobt Niech X będzie dowolnym zbiorem, definicja I.H. Funkcję f określon
DSC07296 14Liczby zespolone c) iecfa s =*+15- gdzie r.jć i będzie dowolną liczbą zespoloną. Wówczas
Dowód: /analogicznie do poprzedniego/; <wn> niech będzie dowolnym M-wartośdowaniem. Z definicj

więcej podobnych podstron