61
§ 3. Ciąg monofoniczny
Uwaga. Niech c będzie dowolną liczbą dodatnią; przyjmijmy x, = cy, i zastąpmy poprzedni związek rekurencyjny związkiem następującym:
,v»+i=y«(2—cy,).
Biorąc wartość początkową >>0 z przedziału (0,1/c) otrzymujemy, że y„ rośnie monotonicznie i dąży do 1/c. Za pomocą tego schematu liczymy na maszynach matematycznych odwrotność liczby c.
4) Niech dane będą dwie liczby dodatnie a i b (a>b). Utwórzmy średnią arytmetyczną i średnią geometryczną tych liczb:
a i=-
a + b
b,=yjab.
Wiadomo, że pierwsza średnia jest większa niż druga ('); jednocześnie obie są zawarte pomiędzy wyjściowymi liczbami:
a>ai>bl>b.
Dla liczb a i i bx znowu tworzymy obie średnie:
Oi+bi ;——
Q2----, O2—y
przy czym
a1>a2>b2>b1
itd. Jeżeli liczby a, i bn są już określone, toaItI i h„+l określamy ze wzorów
an+b, k / u~
On+l----. b„+i—y/a„bn
i, jak poprzednio, mamy
Qn> O, + l>b„+ i >ÓB .
Tą metodą utworzyliśmy dwa ciągi {a„} i {£>„}, z których pierwszy jest malejący, a drugi rosnący. Jednocześnie
a>a„>b„>b,
czyli obydwa te ciągi są ograniczone, a więc obydwa mają granice skończone
a=)im a„ i /l=lim b„.
Jeżeli w równości
--
przejdziemy do granicy, to otrzymamy
a= skąd a==?j8.
Tak więc, obydwa ciągi — i średnich arytmetycznych a,, i średnich geometrycznych b„ — dążą do wspólnej granicy b). Idąc za C. F. Gaussem nazywamy ją średnią arytmetyczno-geometrycz-
ną wyjściowych liczb a i b. Nie możemy teraz wyrazić liczby fi{a,b) przez a i b — do tego celu potrzebna jest tzw. całka eliptyczna (por. tom drugi).
(*) Wynika to od razu z nierówności