40096

Dowód: /analogicznie do poprzedniego/; <wn> niech będzie dowolnym M-wartośdowaniem. Z definicji prawdy wynika, źe <wn> Spł_M|Wxi(A)|. Stąd na mocy definicji spełniania Wu e U (<wn>(w/u)Spł»^A). Ale przecież wi e U. więc biorąc wi za u dostajemy wniosek, że <wn> SpłsiA. Wobec dowolności ciągu <wn> znaczy to. ze A e Vr(M).

/silne twierdzenie o generalizacji w oparciu o te dwa twierdzenia/

Tw. 8) Semantyczne twierdzenie o generalizacji - sile:

A e Vr(M) wtw A e Vr(M).

Na mocy tego twierdzenia funkcja zdaniowa jest prawdziwa, gdy jej uniwersalne domknięcie jest prawdziwe.

np. |3y Okrąźa(x,y)| e Vr(M) «-* |V/x3y Okrąźa(x,y)| e Vr(M) «-* Wu e U 3v e U(<u, v> e OKRĄŻA).

Tw. 8) Cn(Vr(M)) = Vr(M)

Słownie: zbiór formuł prawdziwych (przy danej interpretacji M) jest teorią.

Dowód:

/identyczność: x = y«-»x_cy^Ay_c x/

(1)    Vr(M) _c Cn(Vr(M)). Na mocy zwrotnośd operacji Cn.

(2)    Cn(Vr(M)) _c Vr(M). czyli dla dowolnej formuły A, jeżeli A e Cn(Vr(M))_f to A e Vr(M). Przypuśćmy więc. źe A e Cn(Vr(M)). Znaczy, to źe istnieje dowód (derywacja) formuły A w

oparciu o zbiór Vr(M). Niech tym dowodem będzie ciąg formuł D1.....Dn: oczywiście. Dk = A.

Wykażemy, iż dla dowolnego i _< n. Di e Vr(M). Stosujemy w tym celu indukcje matematyczną względem wskaźnika i.

Krok wyjściowy: i = 1. D1 eVr(M), bo jest jedną z formuł w oparciu o które przeprowadzamy dowód. Założenie indukcyjne: Dla dowolnego i < k. gdzie I < k _< n. Di e Vr(M).

Pokażemy, źe Dk e Vr(M).