2659241298

Wykład 2

09.10.2007

Niech d będzie dowolną liczbą naturalną.

Twierdzenie 2.1 R^d nie jest ciągowo zwarty w £^d, tzn. £^d nie jest przestrzenią metryczną zwartą.

Twierdzenie 2.2 £^d jest przestrzenią metryczną lokalnie zwartą.

Twierdzenie 2.3 Przestrzeń metryczna (X,p) jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy jedyne zbiory otwarto-domknięte (tzn. jednocześnie otwarte i domknięte) to ID i X.

Twierdzenie 2.4 Niech (X, p) będzie przestrzenią metryczną, zaś A, B C X.

Jeśli zbiory A i B są spójne i mają co najmniej jeden punkt wspólny, to ich suma A U B też jest zbiorem spójnym.

Twierdzenie 2.5 Niech a, b 6 R^d.

Odcinek [a, b] jest zbiorem spójnym.

Definicja 2.1 Niech L C R^d.

Powiemy, że L jest łamaną wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba naturalna n oraz elementy ai,... ,a„, bi— b„ € R^d

takie, żt

(2.1)

•card([a*_i,b*_i] D |a*,b_fc]) = 1.

(2.2)

Definicja 2.2 Niech p,q € R^d, zaś L będzie łamaną. Załóżmy, że n oraz ai,..., a,,, bi,... b„ e R^d są takie, jak w definicji łamanej L.

Mówimy, że L jest łamaną łączącą punkty p i q wtedy i tylko wtedy, gdy ai = p oraz b„ = q.

Łamaną łączącą punkty p i q oznaczamy L( p,q).

Uwaga 2.1 Łamana może mieć punkty samoprzecięcia.

Wniosek 2.1 Łamana jest zbiorem spójnym.

Twierdzenie 2.6 Niech A będzie podzbiorem zbioru R^d.

Jeśli każde dwa punkty zbioru A można połączyć łamaną u; nim zawartą, to zbiór A jest spójny w £^d.

Twierdzenie 2.7 Niech A będzie podzbiorem zbioru R^d.

Jeżeli A jest zbiorem otwartym w £^d, to zbiór A jest spójny w w £^d wtedy i tylko wtedy, gdy każde jego dwa punkty zbioru A można połączyć łamaną w nim zawartą.

Wniosek 2.2 £^d jest przestrzenią metryczną spójną.

Definicja 2.3 Obszarem w £^d nazywamy dowolny otwarty i spójny zbiór w £^d.