2659241286

Wykład 4

23.10.2007

Niech r będzie liczbą naturalną większą od 1, d liczbą naturalną, G dowolnym niepustym podzbiorem R¹', zaś p, q punktami R^r.

Twierdzenie 4.1 Niech G będzie zbiorem otwartym w £^T, p punktem G, zaś f: G —» R^d dowolnym odwzorowaniem.

Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją przekształcenie liniowe L e L(R^r,R^d), dodatnia liczba e i odwzorowanie r: 13(0, e) —» R^d takie, że dla dowolnego wektora h z B(0, e) zachodzi równość }(p + h) = /(p) + Lh + ||h||r(h) i r(0) = 0 oraz funkcja r jest ciągła w O.¹

Twierdzenie 4.2 (o pochodnej funkcji odwrotnej) Niech G będzie zbiorem otwartym w £^r, p punktem G, zaś f:G—* R^r dowolnym odwzorowaniem.

Jeżeli odwzorowanie f jest różnowartościowe na G i różniczkowalne w punkcie p, f(G) jest zbiorem otwartym w £^r, pochodna odwzorowania f w punkcie p jest izomorfizmem oraz odwzorowanie odwrotne f~^l: f(G) —> R^r jest ciągle w punkcie /(p), to wtedy /“¹ jest różniczkowalne w punkcie /(p) i zachodzi równość

(/“ ¹)'(/(P)) = (/'(P))-¹-

Twierdzenie 4.3 (Lagrange’a o wartości średniej) Niech G będzie zbiorem otwartym w £’, p i, q punktami z G takimi, że [p,q] C G, zaś f: G —* R dowolną funkcją.

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna na zbiorze G, to istnieje liczba rzeczywista Q z odcinak otwartego ]0,1[ taka, że

/(p) - /(q) = /'(q + 0(p - q))(p - q).

Twierdzenie 4.4 Niech G będzie obszarem w £^r, zaś f:G—> R dowolną funkcją.

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna na zbiorze G i jej pochodna jest stale róuma zeru, to f jest funkcją stalą.

Twierdzenie 4.5

(i) Niech G będzie otwartym podzbiorem w £^r. Jeżeli odwzorowanie /: G —* R^d jest odwzorowaniem stałym, to jest różnicz

kowalna na zbiorze G oraz /'(p) = 0 dla dowolnego p z G.

(ii)    Jeżeli A: R^r —* R^d jest odwzorowaniem liniowy, to A jest różniczkowalna na R^r oraz DA = A.

(iii)    Niech G będzie otwartym podzbiorem w £' , p punktem G, zaś odwzorowanie f:G —* R^d ma składowe (współrzędne) (f\,..., fd). Odwzorowanie jest różniczkowalna w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego i € l,d funkcje fi są różniczkowalne w punkcie p. Ponadto wtedy zachodzi równość

/'(P) = (/i'(p). ••■,/»)■

Uwaga 4.1 Zauważmy, że tak jak dla granicy i ciągłości problem różniczkowalności odwzorowań o wartościach R^d redukuje się do różniczkowalności funkcji o wartościach rzeczywistych.

'Kula B(0,e) jest kulą w £' .

15