2659241282

Wykład 3

18.10.2007 (za 16.10.2007)

Ciągłość i jednostajna ciągłość funkcji.

Niech d będzie liczbą naturalną.

Uwaga 3.1 Ponieważ definicję ciągłości funkcji w punkcie, funkcji ciągłej (na zbiorze), funkcji jednostajnie ciągłej na zbiorze, czy też spełniającej warunek Lipschitza wprowadziliśmy na I roku dla ogólnej przestrzeni metrycznej, więc pozostają słuszne dla £^d.

Sformułujemy teraz twierdzenia, które nie pojawiły się w zeszłym roku oraz twierdzenie ważne z pewnych powodów. Pierwsze z tych twierdzeń udowodnimy.

Uwaga 3.2 Rozpatrujemy £^d. Przed rozpatrywaniem własności funkcji ciągłych wprowadzimy pojęcie tzw. rzutu prostopadłego na i-tą oś układu (ewentualnie współrzędną), gdzie i € l,d.

Definicja 3.1 Niech i 6 l,d będzie dowolne.

Odwzorowanie jt* : R¹* —< R zadane wzorem 7T;(x) = Xi, gdzie x € R¹*, nazywamy rzutem na i-tą współrzędną.

Twierdzenie 3.1 Niech i 6 l,d będzie dowolne.

Rzut na i-tą współrzędną jest odwzorowaniem Lipschitzowski ze stalą równą 1.

Wniosek 3.1 Niech i G l,d będzie dowolne.

Rzut na i-tą współrzędną jest odwzorowaniem jednostajnie ciągłym, więc i ciągłym.

Niech r będzie liczbą naturalną większą od 1, G niepustym podzbiorem R^r, zaś p będzie punktem z R^r.

Lemat 3.1 Niech i € 1, d będzie dowolne, a f: G —* R^d odwzorowaniem takim, że f = (fu ■ ■ ■ ■ fd)-Wtedy 7Ti o / = fi.

Twierdzenie 3.2 Niech f: G —* R^d będzie dowolnym odwzorowaniem i f = (fu..., fd), a p będzie punktem z G.

Odwzorowanie f jest ciągłe w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego i 6 1, d odwzorowanie fi jest ciągle w punkcie p.

Uwaga 3.3 Zauważmy, że ostatnie twierdzenie redukuje problem ciągłości odwzorowania f:G—>R'‘w punkcie tak, jak liczenia granicy w punkcie, do sprawdzania ciągłości składowych funkcji.

Twierdzenie 3.3 Niech f,g: G —* R^d będą dowolnymi odwzorowaniami.

Jeżeli są one ciągłe (ciągle w punkcie p € G), to ciągle (odpowiednio ciągle w punkcie p) są funkcje f + g, f — g, a ■ f oraz (f\g).

Twierdzenie 3.4 (Weierstrassa o obrazie ciągłym zbioru zwartego) Niech G będzie zwartym podzbiorem £^r, natomiast f: G —> R^rf dowolnym odwzorowaniem.

Jeżeli f jest ciągle, to zbiór f(G) jest zwarty w £^d.

11