10 (70)

Formy różniczkowe

221

e #'(£), i niech y będzie	b) Udowodnimy najpierw dla 0-formy/e ^(€"\
ażenie podcałkowe jest	d^2/=d( i mmWm = i mn ż w>* *** V/= i / i= 1 W= t Ponieważ Dy/ = DJ(/ (twierdzenie 9.41) oraz dxt a dxj — - dxj a dxh więc widzimy, że d^2f = 1 ^= 0 Jeżeli to = /dx;, jak w (64), to do) = (df) a dx,. Z (60) d(dx,) — 0. Zatem (63) pokazuje, że d^2 o) = (d^2f) a dx, 0. 10.21. ZAMIANA zmiennych. Załóżmy, że E jest zbiorem otwartym w R^n, T jest ^(€'--od wzorowaniem zbioru E w pewien zbiór otwarty K<= R^m i co jest k-formą na V, daną wzorem
ch y mających ten sam
la). xdy nie jest pochodną nego twierdzenia, gdyż	(65) co — £h,(y)<(y,. / (Będziemy stosować y dla punktów z V, a x dla punktów z E). Niech 11,..., tm będą składowymi odwzorowania T, innymi słowy, jeśli [yuym) = T(x), to y; = tj(x) i zgodnie z (59)
rmą klasy W na E, to	(66)    dti = (Djti) (x)dxj (1 < i < m). i= i Zatem każde dti jest 1-formą na E. Odwzorowanie Tprzekształca co w k-formę coT na £, którą definiujemy wzorem: (67)    coT = X^fr/(^T(x))*i,^A - a dtv
tania, że (63) zachodzi	gdzie w każdym składniku sumy (67) / = {it,..., ik) jest rosnącym k-indeksem. Nasze następne twierdzenie pokazuje, że operacje dodawania, mnożenia i różniczkowania zostały zdefiniowane w ten sposób, że są niezmiennicze ze względu na zmianę zmiennych.
Jeżeli k, m lub obydwie ód który następuje nie	10.22. Twierdzenie. Niech E i T będą określone jak w 10.21, niech co i A będą odpowiednio k-formą i m-formą na V Wtedy
zeciwnym razie każdy ny	a)    (ai+AJj. == £»r+ Ar, jeśli k — m; b)    (co a A)r = coT AŻr; c)    d(coT) = (dco)T, jeśli co jest klasy W i T jest klasy W. Dowód, a) wynika natychmiast z definicji. Część b) jest niemal tak sanio oczywista, wystarczy tylko zauważyć, że
|a dxj. dx, = (- l)^kdx, A dg.	(68) (dyit a ... a dy,)T = dtti a ... a dtit niezależnie czy {i).....ir} jest r-indeksem rosnącym czy nie. Istotnie, (68) zachodzi, ponieważ ta sama liczba znaków minus jest potrzebna po obu stronach (68), aby przejść do ustawienia
ł+ (— i)*co a dX,	rosnącego. Przejdźmy do dowodu c). Jeśli/jest 0-formą klasy V na V, to /r(*) = f(T(*)), df= £(D,/)(y)dyf. i