e #'(£), i niech y będzie

b) Udowodnimy najpierw dla 0-formy/e ⁽€"\

ażenie podcałkowe jest

d²/=d( i mmWm = i mn ż w>* ***

V/= i / i= 1 W= t

Ponieważ Dy/ = D_J(/ (twierdzenie 9.41) oraz dx_t a dxj — - dxj a dx_h więc widzimy, że d²f = 1 ^{= 0}

Jeżeli to = /dx_;, jak w (64), to do) = (df) a dx,. Z (60) d(dx,) — 0. Zatem (63) pokazuje, że d² o) = (d²f) a dx, 0.

10.21. ZAMIANA zmiennych. Załóżmy, że E jest zbiorem otwartym w Rⁿ, T jest ⁽€'--od wzorowaniem zbioru E w pewien zbiór otwarty K<= R^m i co jest k-formą na V, daną wzorem

ch y mających ten sam

la).

xdy nie jest pochodną nego twierdzenia, gdyż

(65) co — £h,(y)<(y,.

/

(Będziemy stosować y dla punktów z V, a x dla punktów z E).

Niech 11,..., t_m będą składowymi odwzorowania T, innymi słowy, jeśli [y_uy_m) = T(x), to y_; = tj(x) i zgodnie z (59)

rmą klasy W na E, to

(66)    dti = (Djti) (x)dxj (1 < i < m).

i= i

Zatem każde dti jest 1-formą na E.

Odwzorowanie Tprzekształca co w k-formę co_T na £, którą definiujemy wzorem:

(67)    co_T = X^fr/(^T(x))*i,^A - a dt_v

tania, że (63) zachodzi

gdzie w każdym składniku sumy (67) / = {i_t,..., i_k) jest rosnącym k-indeksem.

Nasze następne twierdzenie pokazuje, że operacje dodawania, mnożenia i różniczkowania zostały zdefiniowane w ten sposób, że są niezmiennicze ze względu na zmianę zmiennych.

Jeżeli k, m lub obydwie ód który następuje nie

10.22. Twierdzenie. Niech E i T będą określone jak w 10.21, niech co i A będą odpowiednio k-formą i m-formą na V Wtedy

zeciwnym razie każdy ny

a)    (ai+AJj. == £»_r+ A_r, jeśli k — m;

b)    (co a A)_r = co_T AŻ_r;

c)    d(co_T) = (dco)_T, jeśli co jest klasy W i T jest klasy W.

Dowód, a) wynika natychmiast z definicji. Część b) jest niemal tak sanio oczywista, wystarczy tylko zauważyć, że

|a dxj.

dx, = (- l)^kdx, A dg.

(68) (dy_it a ... a dy,)_T = dt_ti a ... a dt_it

niezależnie czy {i).....i_r} jest r-indeksem rosnącym czy nie. Istotnie, (68) zachodzi, ponieważ

ta sama liczba znaków minus jest potrzebna po obu stronach (68), aby przejść do ustawienia

ł+ (— i)*co a dX,

rosnącego.

Przejdźmy do dowodu c). Jeśli/jest 0-formą klasy V na V, to

/r(*) = f(T(*)), df= £(D,/)(y)dy_f.

i