0457

459

§ 5. Elementarne funkcje zmiennej zespolonej

Niech będzie 0<0<tc. Ponieważ dla r = 1 szeregi po prawej stronie są nadal zbieżne [385,2)], więc korzystając z twierdzenia Abela [437,6°] można tu przejść do granicy, gdy r -*■ 1—0. Po lewej stronie otrzymujemy w pierwszym przypadku j 0 ln (2—2 cos 0) = ln 2 sin -i- 0, a w drugim arc tg (ctg0)= = arc tg (tg-i (7t-0)) = -i-fr—0). Mamy więc

ln 2 sin

-i--2

COSH0

TC—6 2

2

■-i

sin nd n

W trzecim tomie tego podręcznika spotkamy się z wieloma ciekawymi rozwinięciami trygonometrycznymi.

7) W 447,8) mieliśmy rozwinięcie

. ¹ -    - = i+y p.(x)«*.

-2otx+«²    t-i

gdzie P(x) są to wielomiany Łegendre’a. Niech x przyjmuje wartości między —1 i +1. Przyjmijmy x = cos 0; otrzymamy

(1 — 2<x cos 0+a²)'^1/2 = 1+2 P.(cos 0) • a" .

11*1

Zastępując teraz 2 cos 0 przez e®¹ +e~^Bt, mamy

(l-2«cos0+a²)-¹'² = [l-*(e^#‘+e-®')+a²]-^1/2 = (1-ae¹®)-¹'² (l-aę-'®)-¹'² =

= (l + y <*«'*++ ...) (l + Y*®”'®+ ^«^J®"²'®+ •••) •

Mnożąc przez siebie te dwa szeregi według zwykłej reguły i porównując współczynniki przy <x” w obu rozwinięciach otrzymamy wreszcie wzór na P„(cos 0):

P„(cos 0) = ■⁽²”~)-^)!! (e"'®+e-"'®)+    ^ • 4-(e<"-¹>'®+e-'"-¹>'®)+

(2/1)!! (2/1—2)!! 2

⁺ (2«—4)1!    2-4 ^{1    +    ;+}

Wyrażenia w nawiasach możemy teraz zastępować kolejno przez 2cos nd, 2cos (/»—1)0, 2cos (n—2 )0 itd. Ponieważ wszystkie współczynniki są tu dodatnie, więc jest oczywiste, że największą wartość osiągnie to wyrażenie dla 0 = 0, tzn. dla x = cos 0 = 1. W ten sposób korzystając z rozważań dotyczących funkcji zmiennej zespolonej, otrzymaliśmy ciekawy wynik dotyczący całkowicie dziedziny rzeczywistej: gdy x przebiega wartości z przedziału <— 1, +1> każdy z wielomianów Legendre’a osiąga swą największą wartość na końcu, dla x — 1.

§ 6. Szeregi oscylujące i szeregi asymptotyczne.

Wzory Eulera-Maclaurina

462. Przykłady. W § 9 poprzedniego rozdziału zapoznaliśmy czytelnika z najważniejszymi definicjami sumy uogólnionej szeregów rozbieżnych. Same sumy częściowe były jak najmniej przydatne do obliczeń przybliżonych tej sumy. Wróćmy teraz znów do szeregów rozbieżnych, lecz badania przeprowadzimy w innej płaszczyźnie: udowodnimy, że jeśli spełnione są określone warunkj, to w pewnym obszarze właśnie