0443

445

§ S. Elementarne funkcje zmiennej zespolonej

Gdy z jest dostatecznie bliskie z₀, wartości z są ograniczone pewną stałą: |z| < M, a więc

|z*-zSI = nM”~^l-\z-z₀\,

skąd otrzymujemy żądany wynik.

Łatwo można teraz wykazać ciągłość wielomianu i funkcji wymiernej (w tym ostatnim przypadku poza pierwiastkami mianownika).

Definicja pochodnej funkcji w =■■ f(z) w punkcie z = z₀ ma tę samą postać co i w zwykłym rachunku różniczkowym:

h-' = /'(r₀) = lim /(£o+^)-/(*o> ₌ ,_im HĄ-ftoo) .

0    Az    % Zo

Na przykład, w przypadku funkcji h¹ = z", mamy

^Z"~^zZ = z"-'+Zoz’-²+ ... +Zo^_1.

Z-Zo

a więc przechodząc do granicy, gdy z -*• z₀, otrzymujemy znów znany wzór

w' = nzj^-1.

Wzór z ustępu 94 na pochodną funkcji odwrotnej i wszystkie reguły różniczkowania z ustępów 97, 98 zachowują się bez zmian. Podobnie wprowadzamy też pojęcie pochodnych wyższego rzędu. Wspomnimy jeszcze o szeregach

00

y /.(z) = /i(z)+/i(z)+ ... +/,(z)-r ... ,

n-l

których wyrazami są funkcje zmiennej z z tego samego obszaru Z.

Tu można przede wszystkim wprowadzić pojęcie zbieżności jednostajnej w ten sam sposób co i w ustępie 428. W przypadku zespolonych szeregów funkcyjnych możemy tak samo wnosić o zbieżności jednostajnej z istnienia dodatniej majoranty, ponieważ kryterium Weierstrassa pozostaje i tu w mocy. Z twierdzeń o szeregach funkcyjnych potrzebne nam będzie w przyszłości twierdzenie o przejściu do granicy wyraz za wyrazem w szeregu jednostajnie zbieżnym [433, twierdzenie 4]. Dowód tego twierdzenia jest taki sam jak poprzednio.

Przechodzimy teraz w szczególności do badania szeregów potęgowych, które w teorii funkcji zmiennej zespolonej odgrywają wyjątkowo ważną rolę. Poświęcimy im specjalny ustęp.

456. Szeregi potęgowe. Niech będzie dany szereg 00

(I)    y C. z" = Co + Ci z+c_z z² + ... +c_mz"+ ...,

n-0

gdzie c₀, c,, c₂, ... są stałymi współczynnikami zespolonymi, a z Zmienną przebiegającą całą płaszczyznę zespoloną. Całkiem tak samo, jak było to zrobione w ustępach 379 lub 380, możemy dla niego wykazać istnienie takiej nieujemnej liczby R, że dla |z|</J (jeżeli R>0) szereg (1) jest zbieżny bezwzględnie, a dla |z|>/J (o ile R< + °o) szereg jest rozbieżny. A więc jeżeli odrzucimy przypadek R = 0, mamy dla R — = + ao szereg zbieżny na całej płaszczyźnie zespolonej, a dla R skończonego — szereg zbieżny wewnątrz koła o środku w początku układu i promieniu R, a rozbieżny na zewnątrz tego koła. Zamiast przedziału zbieżności mamy tu koło zbieżności i słowo promień nabiera dopiero właściwego sensu.

Na przykład, jak łatwo sprawdzić za pomocą kryterium d*Alemberta, szereg

<J0

n-l