0439

441

§ 5. Elementarne funkcje zmiennej zespolonej

tak dobrze znaną, gdy chodzi o wartości bezwzględne liczb rzeczywistych. Rzeczywiście, tym razem sprowadza się ona do znanej nierówności

p/(jr + jf^,)²+0'+/)* <    c²+y² + ^x'²+y'² ,

która jest szczególnym przypadkiem nierówności Minkowskiego [133 (7)]; zobacz też odnośnik na str. 285 tomu I.

Spełnione są także wnioski wynikające z tej nierówności [patrz 17].

Gdy w oznaczeniu liczby zespolonej z = x+yi przyjmiemy x = r cos 0,y = r sin O, otrzymamy tak zwaną trygonometryczną postać liczby zespolonej:

z — r (cos© +/ sin ©).

Podstawmy w postaci trygonometrycznej inną liczbę zespoloną z':

z' — r'(cos ©' + / sin ©').

Wtedy iloczyn zz' w postaci trygonometrycznej będzie wyglądał tak:

zz' -- rr'[cos (©+©') + / sin (© + ©')],

co bezpośrednio wynika z twierdzeń o kosinusie i sinusie sumy. Stąd

|zz'| = jzj ■ |zj, Arg zz' = Arg z + Arg z'.

Podobnie dla ilorazu z i z' (z' A0) znajdujemy

z

z'

Arg — = Arg z — Arg z'.

k I *

Ze wzoru na iloczyn otrzymujemy wzór na potęgę o wykładniku naturalnym //:

z" = r"(cos nG-ri sin »©),

w szczególności dla r ----- 1 otrzymujemy wzór de Moivre'a

(cos ©+f sin ©)" = cos n&+i sin n ©.

Wreszcie pierwiastek «-tego stopnia z z jest równy

" /— " /— (    © . ■ © \

^z = ^r Icos--1-1 sin — I,

gdzie y r jest pierwiastkiem arytmetycznym z modułu r. Podstawiając tu kolejno

© = 0, 0+2tt, 0 + 4tt, ..., 0+2 (n— 1) tc

otrzymujemy n różnych wartości pierwiastka ]/z (zakładając oczywiście, że z^O). Dla innych wartości 0 będą już tylko powtarzały się te same wartości pierwiastka.

454. Ciąg liczb zespolonych i jego granica. Rozpatrzmy ciąg {z„} utworzony z liczb zespolonych z„ = = x„+y„i (n = 1, 2, 3, ...).

Definicję granicy tego ciągu liczb zespolonych formułujemy w taki sam sposób jak w przypadku ciągu liczb rzeczywistych [23]:

Liczbę c = a+bi nazywamy granicą ciągu {z„}, jeżeli dla dowolnie małej liczby e>0 istnieje taki wskaźnik N, że wszystkie wyrazy z„ o wskaźnikach n>Nspełniają nierówność

U»-c| < £•

Zapiszemy to wzorem

lim z, = c lub z„ -► c .