0455

457

§ S. Elementarne funkcje zmiennej zespolonej

i⁴* sin³.* =    -) ⁼--■~£r(^e2*‘~e~¹*')³(e^x‘+e~*') =

---!—(e^6x‘—3e^2xl+3e~^2xl—e~^6x‘) (e^x>+e~^x‘) =

128/

---(e^2xt4"€^Sxl—3e^2xt—3e“**-j-3e^-jr* + 3e^-3jf*—_e~sxt—^-7*(^ __

128/

_1_

64

(sin 7x+sin 5x—3 sin 3x—3 sin x) .

Możemy wprowadzić także wzory ogólne:

(a)    sin¹"x =    (cos 2vat—2vcos (2i>—2) x+    —— cos (2v—4) x— ... +

₂2»-i l    1-2

■ (-D”    2v(2v-l) ■..(»+!))

2    1-2- ... -v }’

(b)    sin^J’⁺¹ x =    - [sin (2»+l) x—(2v+l) sin (2v—1) x+

2²' l

+ ^(2v+1)2>' sin (2.-3) x+ ...+(-!)’ ^(2y+1)-²-ł: -^(,,+2> sin^, 1*2    1 -2- ... •v    J

(c)    cos".v = —L— fcos nx+n cos (n— 2) jc+ JiS”——cos(n—4)x+ ...1,

2"^_1 (    1-2    J

przy czym ostatni wyraz we wzorze (c) ma postać

COS X .

1-2- ... •v

1-2- ... -v

_1_ . 2r(2v-l) ...OH-1) ,_ub (2v+l) 2v ... (»+2)

zależnie od tego, czy n = 2v czy 2v+l.

Podobne przekształcenia są pożyteczne przy całkowaniu [porównaj 287].

4) Najprostsze wzory rachunku całkowego (dotyczące obliczania funkcji pierwotnych) stosują się, także do funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej lub zespolonej.

Przypuśćmy, że mamy obliczyć całki

J e°^x cos bx dir,    J e“ sin bx dx.

Zadanie to jest równoważne z obliczeniem całki

j e**(cos bx+i sin bx) dx = j e⁽“^+bnxdx,

która według elementarnego wzoru jest równa

1    _ cos bx+i sin bx ₌ acosó-t+ósin/u: ~ . . a sin bx—b cos bx

a+bi    a+bi    “    a²+b²    a»+ft²

Porównując oddzielnie części rzeczywiste i części urojone otrzymujemy szukane całki [(porównaj 271,6)]. Wzór na obliczenie całki postaci

J P(x)e‘^xdx,

gdzie P (x) jest wielomianem całkowitym [271,4)] możemy uogólnić na przypadek zespolonego a. Wtedy sprowadzą się do niego nie tylko całki

J P (x) cos bxdx, f P (x) sin bx dx,