0447

449

§ S. Elementarne funkcje zmiennej zespolonej

Widzimy, że

e’ = e^K(,> — |e^s|, y = /(z)+Arg e~.

Ponieważ e¹ > 0 dla dowolnego x rzeczywistego, więc er jest różne od zera dla dowolnego z zespolonego.

Zastępując w równości (5) y przez —y otrzymamy, po dodaniu i odjęciu od siebie obu wzorów, zależności

(7)

cosy =

sin y =

między funkcjami trygonometrycznymi o argumentach rzeczywistych a funkcjami o argumentach urojonych. Wrócimy jeszcze do tego ciekawego faktu później.

Gdy w równości (6) zastąpimy y przez y+2ir, to wartość prawej strony (a więc i lewej) równości nie zmieni się, czyli

gt-nm _ f _

Funkcja wykładnicza jest więc funkcją okresową o urojonym okresie 2m.

Łatwo wykazać, że oprócz okresów postaci 2kici (k — liczba całkowita) funkcja e^z nie może mieć innych okresów. Rzeczywiście, gdyby było e^,+a = tr, to podstawiając z = 0 mielibyśmy e“ = 1. Niech będzie tu = «+/?/, więc [patrz (6)] e¹ (cos /?+/' sin /?) = 1. Stąd e¹ = l.as = 0,a więc cos /? = 1. sin /?= = 0, skąd fi = 2kn, c.b.d.o.

Teraz dopiero, gdy wiemy, że e±^2,c' = 1, staje się zrozumiałe, dlaczego rozwinięcie funkcji —_:——

e — 1

x

w szereg potęgowy [449, (12)] ma promień zbieżności 27r. Chociaż funkcja ———nie ma na osi rzeczy-

e — 1

wistej punktów osobliwych, które mogłyby to spowodować, na osi urojonej są jednak punkty, w których funkcja jest nieskończona i spośród nich najbliższe od początku układu są punkty z = ±2ni leżące w odległości 2tc od niego.

W związku z uogólnieniem funkcji wykładniczej na przypadek wykładnika zespolonego przypomnijmy sobie pewną ciekawą funkcję rozpatrywaną w ustępach 138 i 407, mianowicie

f{x) = tr¹"’    (jc¹0)    /(0) = 0.

Przy przejściu do zmiennej zespolonej z — x+yi widać od razu, dlaczego nie da się ona rozwinąć w szereg według potęg x w żadnym otoczeniu 0, mimo iż jest ona ciągła wraz ze wszystkimi pochodnymi na całej osi rzeczywistej z punktem 0 włącznie. Rzeczywiście, funkcja e~^u** (r±0) nie ma nawet granicy, gdy z -+ 0, jeżeli bowiem będziemy dążyli z z do zera wzdłuż osi urojonej, tzn. gdy z — yi i y -¹■ 0, to

- gVj¹ —y oo _

458. Funkcja logarytmiczna. Niech będzie dana dowolna liczba zespolona w różna od 0. Postawmy sobie za zadanie znaleźć liczbę z spełniającą równanie

e¹ = w

(jak wiemy równanie to nie ma rozwiązań, gdy w = 0). Taką liczbę z nazwiemy logarytmem naturalnym liczby w i oznaczymy symbolem

(8)    z = Ln w.

Jeżeli w — r (cos 0+i sin 6) i przyjmiemy z = x+yi, to z uwagi na (6) otrzymamy z równania (8) trzy równania

e¹ = r, cos y = cos 0,, sin y = sin 0i,

skąd

x — ln r (¹), y — 0+2kn (k jest liczbą całkowitą).

1

Chodzi nam tu o zwykły logarytm naturalny liczby dodatniej r.