0453

455

§ 5. Elementarne funkcje zmiennej zespolonej

Jego promień zbieżności R = l(^x). Dla |w| < 1 otrzymujemy tu jedną z wartości Arc sin h\ Wykażemy, że będzie to właśnie wartość główna arc sin w. Rzeczywiście \R (z)| jest nie większy niż

_M<1+il ₊ H.l₊.., ₊

2-3    2-4    5    (2«)!t

2n+l

7T

2’

skąd wynika żądany wniosek.

460. Funkcja potęgowa. Niech a i b będą dwiema liczbami zespolonymi i niech a=£0. Wtedy potęgę cf określimy ogólnie wzorem

o¹ = e^1L“ = _e«in«+jnti) (jr _ ii_C2jja całkowita),

a więc potęga jest na ogół wieloznaczna. Dla k = 0 otrzymujemy tak zwaną główną wartość potęgi

<f = e¹¹”.

Dla odróżnienia wzór ogólny na potęgę oznacza się niekiedy w ślad za Cauchym przez ((a))¹. Tak więc

((«))¹ = a¹-¹²¹"¹¹    (A: — całkowite).

Jeżeli b jest liczbą całkowitą, to drugi czynnik jest równy 1; potęga będzie miała w tym przypadku tylko jedną wartość. Gdy b jest ułamkiem nieskracalnym pjq (q> 1), potęga będzie miała q różnych wartości. Wreszcie dla każdej innej wartości b potęga będzie miała nieskończony zbiór wartości.

Na przykład

2‘ = e“°² = cos (ln 2)+/ sin (ln 2),    ((2))‘ = 2‘-e~^lkn (k — całkowite)

i' = e^IInl = e~^n/2,    ((i))‘ = e~^(1+1)n,i (k — całkowite).

Jeżeli m jest dowolną stalą liczbą zespoloną, funkcja potęgowa ((z))” jest w ogólności wieloznaczna. Gałęzią główną jej jest (z#0) (²):

z” =

Z zależności

(1 +r)^M = _e" ¹“<»+¹>

całkiem tak samo jak w 447, 2) można otrzymać szereg dwumienny

[(l-fz)”-₁+mz₊-g^,-⁽-^--¹>.z²+ ... + w(m-l) ..(m-»+l)

1¹2    1 ¹2¹ ... ¹n

Szereg ten jest zbieżny dla dowolnego m zespolonego, jeżeli |r[ < 1(³) i wyznacza, jak to widać z samego sposobu jego konstrukcji, właśnie wartość główną potęgi dwumianu.

Badaniem tego szeregu zajmował się Abel.

1

Dla w =¹ ± 1 pochodna arcusa sinusa , ¹ nie jest ciągła.

\ 1—w²

(²)    Czasem dla z = 0 przyjmujemy z" = 0, jeżeli R (m)>0.

(³)    Dla z ¹= — 1, jeśli Die sama potęga (1 +z)", to wystarczająco dalekie pochodne są nieciągłe. Wyjątkiem jest przypadek, gdy m = 0 lub liczbie naturalnej.