43608 str041 (5)

§ 5. POCHODNA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ 41

Uwaga. Wzór (7) można otrzymać ze wzoru (6') przyjmując w nim

z+ź    z—z

^{X =} -T’ ^y~'

Podstawiając we wzorze (7) z = 0 oraz uwzględniając, że /(O) = 0, mamy

, I u

O²—— + Ci = 0, C = 0.

Wobec tego szukana funkcja ma postać

v(x, y) = 2x²^2y²+x,

' m

,dv    dv

⁺    Ty--⁴’'

b) Z założenia mamy skąd (8)

Ponieważ funkcja /(z) = u+iv jest holomorficzna z założenia, to

du dv    8u

~d~x⁼ 5^    °^raZ d~y

(9)

dv dx

Uwzględniając wzory (8) w równaniach (9), mamy

(10)

du    du

— = —4 y    oraz    —=—4x —1.

ux    dy

Z równań (10) wiadomym sposobem wyznaczamy funkcję u(x,y), ma ona postać

(11)    u(x, y)=-4xy-y+C.

Wobec tego szukana funkcja holomorficzna ma postać

(11')    /(z)= -4xy-y+C+i(2x²-2y²+x),

/(z) = 2 i (x²-y² + 2 ixy) + i(x + iy)+C,

(12)    f(z) = 2iz² + iz+C,

Uwaga. Wzór (12) można otrzymać ze wzoru (11'), przyjmując w nim

z + ź    z —z

Zadanie 5.3. Potencjał zespolony układu dwóch różnoimiennych ładunków elektrycznych punktowych +q i —q, położonych odpowiednio w punktach z_x i z₂, wynosi

w(z) = 2 qi Ln -——.

z —z,