00098483

258 FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

N» przykład funkcja

czyli/(z) ■=* x*-ł y‘, ma pochodną w punkcie i_a = 0, mianowicie

•/(O) - lim

— — lim |/

\te

jednakie nie jesl to funkcja holomorficzna w lym punkcie, ponieważ dla każdego : e 0 pochodna f(z) nie istnieje, gdyż warunki Cauchy'ego-Riemanna są spełnione tylko w punkcie z„ *. 0.

Jeżeli funkcja/U) jest holomorficzna w każdym punkcie obszaru D,to mówimy, że jest holomorficzna w- tym obsiane.

Holomorficzność w obszarze oznacza dokładnie to samo, co istnienie pochodnej w każdym punkcie tego obszaru.

Rozważmy funkcję

/W = ulx.y)+Mx,y)

holomorficzną w pewnym obszarze O. Mamy więc

du

(Ul.48)

du <k>

<>x óy ^u

w każdym punkcie tego obszaru. Załóżmy następnie, że funkcje «(.v, j>) i r(x, j>) są klasy C^J w obszarze D. Aczkolwiek fakt ten wynika z warunku, żc funkcja f(z) jest holomorficzna w- obszarze D — do sprawy tej wrócimy jeszcze w dalszym toku wykładu —jednakże obecnie przyjmujemy go z założenia.

Różniczkując obusironnie pierwsze z równań (111.48) względem r, natomiast drugie względem y, otrzymamy

d²u _ d²v    d²u d*v

d*¹    dxdy    dy¹ = dydx

Stąd, na podstawie twierdzenia Schwarza o równości ciągłych pochodnych mieszanych drugiego rzędu, dostajemy

^d’^u ■ <>^lu _Q

a więc część rzeczywista «i(x,j>) funkcji h o I o'm o r f i c z ne j w obszarze Z) jest funkcją harmoniczną w tym obszarze. W sposób analogiczny można udowodnić, że ó²v d²v lx^T'^h'dy^r~°

a Więc część urojona v(x,y) funkcji holomorficznej w obszarze i> jes t także funkeją harmoniczną w tym obszarze. Przypominamy, te funkcja harmoniczna jest z definicji Idasy C^J.

Def. Dwie funkcje harmoniczne u(x. y) i c(x, y) nazywamy sprzęionymi ze sobą, jeżeli spełniają układ równań Cauchy‘ego-Ritmanna.

Część rzeczywista u(at, >•) i część urojona r(x, y) funkcji holomorficznej w pewnym obszarze, są zatem funkcjami harmonicznymi w tym obszarze, sprzężonymi ze sobą. Na odwrót, przypuśćmy, że dane są w pewnym obszarze dwie funkcje harmoniczne u(x, y) i t»(x, y), sprzężone ze sobą. Ponieważ są to funkcje klasy C\ a zatem także klasy C', więc na podstawie warunku wystarczającego istnienia pochodnej stwierdzamy, łcf[-) “ «(*, y)+/r(x, y) jest funkcją holomorficzną w rozważanym obszarze. Jeżeli więc dana jest para funkcji harmonicznych w pewnym obszarze, sprzężonych ze sobą, to jedna z nich (nie którakolwiek!) jest częścią rzeczywistą, natomiast druga jest częścią urojoną pewnej funkcji holomorficznej.

Przypuśćmy z kolei, że dana jest jedna funkq‘a u(x, y) harmoniczna w pewnym obszarze D. Dla uproszczenia założymy, że obszar ten jest wnętrzepi prostokąta o bokach równoległych do osi układu. Będziemy poszukiwać funkcji/(z) holomorficznej w prostokącie D, dla której u(x, y) jest częścią rzeczywistą.

Jeżeli taka funkcja holomorficzna /(z) «= u(x, y)+Jv(x, y) istnieje, to jej część urojona v(x, y) spełnia układ równań (III.48), w których u{x, y) jest daną funkcją klasy C\ Układ taki rozwiązaliśmy względem ti(x, y) w tomie 2-gim (rozdz. II, p. 6) lego podręcznika. Otrzymaliśmy wówczas wzór, który po odpowiednim dostosowaniu do wprowadzonych obecnie oznaczeń jest następujący

»(*> y) = j y)<*+ \ i)dt+c    (in.49)

n

C oznacza tu dowolną stalą (zespoloną), natomiast <4₀(Xo> yo) jest punktem dowolnie wybranym w prostokącie D. Funkcja >’) określona wzorem (IIL49)

spełnia zatem układ (III.48). Ponieważ pochodne i występujące w tym

układzie są klasy C¹ (bo funkcja u{x, y) jest klasy C*), więc funkcja t>(x, y) jest klasy C², a zatem także klasy C‘. Na podstawie warunku wystarczającego istnienia pochodnej wynika stąd, że funkcja f[z) = a(x, y)+Jv(x, y) jest holomorficzna w prostokącie D.

Przykład. Znaleźć funkcję holomorficzną /(r), jeżeli dana jest jej część rzeczywista u(x, y) =

-u,(x,y)~2y,    u,(x,y)~ 2x

Ponieważ funkcja x^J-y^ł jest harmoniczna w każdym prostokącie D, więc można przyjąć x„ = =* y« = 0. Z uwagi na wzór (111.49) otrzymamy wówczas

2yrft+|ż-0rf/+C

czyli

Stąd

v(x,y) - Zxy+C

A*) = x»-/^J+J2a7+/C = <x+jyf+fC