45 (408)

2

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Drugi tydzień

Przykłady

Przykład 2.1

Dbliczyć:

i) cosb) sin(l + i); c) Log (2t); d)Log(l+t); e)log(-2).

Rozwiązanie

więc

i) Ponieważ cos z = -—

= ch 1.

ęt* _ g""*^ł

>) Ponieważ sin z — -—-, więc

sin (1 + «) =

2 x

;•(¹ +*) _ g->'(! +i)    _e-l + i _ _gl—i

2 i

2t

e ¹ (cos 1 + »sin 1) — e (cos 1 — tsm 1)    e^-1 — e ..    e^-1 + e

= -rr-- = cos 1 ——--1- t sin 1-:

2«    2»    2t

= sin 1 ch 1 + «cos 1 sh 1.

) Korzystamy ze wzoru

Log z = In |z| + i arg z + 2*irj, gdzie ik g Z,

to| >1

rzy czym arg z oznacza argument główny liczby z. Mamy |2łj = 2 oraz arg (2ł) = item

Log (2») = ln 2 + — i + 2kxi, gdzie Jb g Z.

Drugi tydzień - przykłady

d)    Mamy |1 -f jj = v/2 oraz arg (1 + i) = —. Zatem

Log(l + i) = ln \fi +    + 2kiri, gdzie k G Z.

e)    W tym przykładzie korzystamy ze wzoru

log z === ln |z| + i arg z.

Mamy | — 2| = 2 oraz arg (—2) = x. Zatem

log( —2) = ln 2 + rri.

Dowieść podanych tożsamości:

a) cos 2z = cos² z — sin² z; b) sin ^z + — j = cos z; c) e^z = t^l.

Rozwiązanie

a) Mamy

cos² z — sin² z

e²'¹ + 2 + e~^3ix e²'¹ - 2 + e^-2'¹ -^2ix -^L '^_2“

= cos2z.

b) Mamy

sin (*+J) =

*(*+ł)    “«'(* + })

2 i

(di _ ^e'^z + '

e'‘e ² — e^-,Ie 2 i

2i    2    ------

c) Niech z = x + iy, gdzie x, y G R. Wówczas

e* = e ^v = e [cos( — y) -f isin(—y)] = e¹ (cosy — tsin y) = e*(cos y + i sin y) = e^x (cos y + i sin y) = e⁷.

• Pokład 2.3

Wyznaczyć części rzeczywiste i urojone podanych funkcji: a) /(z) = t'z² + z; b) f(z) = —;

c) f(z) = e^ił;    d)/(z)=cosz.