4494

14

Liczby zespolony

Pierwszy tydzień - przykłady

15

b) Nkefc » ³ i +1», gdiie t,y C lt, będzie dowolną liobą zespoloną. Wówczas Re (i- •)* > 0 +n» Rr [(* + iv-i)*] £0<=> Re fr + .(y    1)J* >0

<=» Re f**-(f-i)*+2*(r-i)*| >0<=***-(2-l)^,>0

«-» **>(» — J)* ♦—► 1*1 > —1|-

PtmieL *ay zbiór Jest »umą dwóch obszarów kątowych ograniczonych prostymi y ■- l -* y ~ I * *■ l<«nic 1 tymi prostymi (zobacz rysunek).

c) Niech l«f+ *V< gdzie r,y € li. będzie dowolną liczbą zespoloną. Wówczas z* * JRo (ii) *=*(* + «y)* = 2Rc[i(r + .»]

<=> z* - 2* + i2xy = 2 Re [-y + irj

<=> x*-y* + i2xy= -2y

Ostatnia ałerównoóó jest równoważna alternatywie warunków:

y + z >0 oraz y - (2 + VI) * > 0 oraz v-(2-V5)x>0

lqb

y + *>0 oraz y-(2+V3)x<0 oraz y-(2- V5)r *co lub

y + x<0 oraz y-(2 + V3)x^0 oraz y-(2->/3)x<0 lub

y + x<0 oraz y-(2+V3)r<0 oraz y- (2- V5)x > 0.

Rozwiązanie t«j nicrównold przedstawiono na rysunku.

WI).

Oitatnia równali jest równoważna układowi równali

j|L 2*2 « 0)

Układ ten jest kolejno równoważny układom równali

*=>(*'~:-> ^{= 0} lub Z**-⁰

• o 1 f = 0    I f = o

/x^J-y^ł-f2y: 1 x=0l«iby

Poszabwany zbiór składa się zatem 1 dwóch punktów *_a

l y = 2-

= 0, z? = 2: (zobacz rysunek).

Uwngn. W dalszej czężci skryptu przedstawimy lepszy sposób rozwiązania przykładu d) (patrz Przykład 2.8).

• Przykład 1.6

Naszkicować zbiór wszystkich liczb zespolonych z. dla których liczba u* s — -

jest

a) rzeczywista; b) czysto urojona.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, żc z V -i. Niech z = x + iy, gdzie z.y € ił. Przedstawiamy liczbę w w postaci

d) Niech r ■ z +iy, gdzie z. y C /f. będzie dowolną liczbą zespoloną. Wówczas **»(* + iy)^s = *^J + *3**2 - 3*2* - W; ■ ** - 3*2* + • (3**y - y³).

Zatem

(*^J) > Im (z¹) <=> r^J- 3*2* * 3r*y - >* <=> ,* + »* - 3*y* - 3**2 > 0 <*=> (*+y)(*^,-*» + f^a)-3*2(*+2)^o <=» (*+2) (**-4*2 + 2*) >0 <=»(* + 2)[(2-2*)*-3*^a)>0 <=» (y+*) [2- (2 + V5) rj [2 - (2 - x/5) 1] >0.

*+.»*	(r + iy)(x-.(y+ 1))	i^3+y(v + i> , ; -*
* + •(2 + 1)	** + (2 + 1)*	** + (2 + 1)* ■ ** + (»+!)*

a) Liczba w jest rzeczywista wtedy i tylko wtedy, gdy Im u* = 0. Warunek ten oznacza, że

Im v = —, T.^x—-ę = 0,

x^a +(y+l)»

tsn. x = 0. Szukany zbiór jest orną urojoną bez punktu -i (rysunek obok).

lir «