04

14 Liczby zespolone

Rys. 1.2.1. Moduł i argument główny liczby zespolonej.

O Ćwiczenie 1.2.5

Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiory określone podanymi warunkami:

b) - j < arg (z - 2 + 3i) <

c)arg(-z) = ^; d) ^ argJ <

•    Fakt 1.2.6 (postać trygonometryczna liczby zespolonej)

Dla dowolnej liczby zespolonej z marny

z — r (cos + i sin y>),

gdzie r = |z|, a p jest dowolnym argumentem liczby z.

•    Fakt 1.2.7 (równość liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej)

Niech Z) — 7*1 (cos (pi + isin <pi), z₂ = r₂ (cos y>2 + * sin ^2), gdzie odpowiednio ri, r-2 są modułami, a ipi, p₂ są argumentami liczb zespolonych zi, z₂. Wtedy

( n = r₂ = 0 Z\ — Z2 <==> < albo

( n = r₂ > 0 oraz p₂ — pi + 2kir dla pewnego k 6 Z.

O Ćwiczenie 1.2.8

Podane liczby zespolone zapisać w postaci trygonometrycznej: a) i; b) \/2 — sFli; c) 3 + 3i/3i; d) — — + i; ^e) —10.

• Definicja 1.2.9 (symbol e^iv>) • Niech p £ R. Wtedy

— cosyj + tsmyj. Wzór definiujący symbol e'* nazywamy wzorem Eulera^f.

.110 ^dJl

Leonard Euler (1707-1783), matematyk szwajcarski.

Potęgowanie i pierwiastkowanie

lin z

Rys. 1.2.2. Interpretacja geometryczna liczby e'^v.

• Fakt 1.2.10 (moduł i argument liczby e'*) Dla każdego p 6 R mamy

Jednocześnie tp jest jednym z argumentów liczby e^,V3.

O Ćwiczenie 1.2.11

Podane liczby przedstawić w postaci algebraicznej i zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej:

a) e² ; b) e"¹; c) e ²    ; d) e²'.

•    Fakt 1.2.12 (postać wykładnicza liczby zespolonej)

Dla każdej liczby zespolonej z mamy

* = re'*,

gdzie r jest modułem, a ip dowolnym argumentem liczby z.

4

Uwaga. Postać wykładnicza liczby zespolonej jest innym zapisem postaci trygonometrycznej. Postać ta jest wygodna przy takich operacjach jak mnożenie, dzielenie czy też podnoszenie do potęgi całkowitej. Dla liczb postaci e^iv> prawdziwe sij te same wzory, co dla potęg o wykładniku rzeczywistym.

O Ćwiczenie 1.2.13

Podane liczby zapisać w postaci wykładniczej: a) -2i; b) 1 + c) -4; d) 3 — 3\/3i.

1.3 Potęgowanie i pierwiastkowanie

•    Fakt 1.3.1 (wzór de Moivre’a*)

Niech z = r (cosip + i sin tp), gdzie r > 0 oraz <p 6 R. Wtedy dla n G IV mamy

z'

= rⁿ (cos nip + i sin nip) .

O Ćwiczenie 1.3.2

Korzystając ze wzoru de Moivre’a obliczyć podane wyrażenia:

'Abraham de Moivre (1667-1754), matematyk francuski.

6