0013

14

Liczby rzeczywiste

Dowód przeprowadzimy przez sprowadzenie do niedorzeczności. Niech np. oc>fi. Na podstawie lematu 1, pomiędzy liczby a i fi można wstawić dwie liczby wymierne r

i r >r,

(t>r >r>fi.

Wówczas dla dowolnych liczb s i s', pomiędzy którymi zawierają się liczby a i fi, są oczywiście spełnione nierówności

skąd

s’>r'>r>s, s' —s>r' — r> 0,

czyli różnicy s’—s, wbrew warunkom lematu, nie możemy uczynić mniejszą na przykład od liczby e=r’—r. Ta niedorzeczność dowodzi słuszności lematu.

9. Przedstawienie liczby rzeczywistej nieskończonym ułamkiem dziesiętnym. Mamy na względzie takie przedstawienie, przy którym część ułamkowa (mantysa) jest dodatnia, natomiast część całkowita może okazać się dodatnia, ujemna bądź równa zeru.

Załóżmy z początku, że rozważana liczba rzeczywista a nie jest ani liczbą całkowitą, ani jakimkolwiek skończonym ułamkiem dziesiętnym. Poszukamy dziesiętnych przybliżeń rozważanej liczby. Jeżeli jest ona określona przez przekrój AjA’, to łatwo się przede wszystkim przekonać,.że w klasie A istnieje liczba całkowita M, a w klasie A' liczba całkowita N>M. Dodając do liczby M po jedności, otrzymamy wreszcie dwie kolejne liczby całkowite C₀iC₀ + l takie, że

C₀ •< oc <! C₀ -b 1.

Liczba C₀ może być liczbą dodatnią, ujemną lub zerem.

Jeśli dalej podzielimy przedział pomiędzy C₀ i C₀ +1 na dziesięć równych części liczbami

Cq, 1 ; Cq, 2 ;    ... ; Co, 9,

to ol należy do jednego (i tylko do jednego) z przedziałów częściowych i otrzymujemy dwie liczby różniące się o C₀, c_x i C₀, c_x-1~, dla których

C₀, c₁<a<C₀, c_x+i.

Kontynuując proces podziału dalej, po określeniu cyfr c_x, c₂, ..., c„__x określamy n-tą cyfrę c„ nierównościami

(1)    C₀,c₁c₂...c_B<a<C₀,c₁c₂...c_B-l-^_i.

Tak więc, w procesie znajdowania dziesiętnych przybliżeń liczby a, utworzyliśmy liczbę całkowitą C₀ i nieskończony ciąg cyfr c_x, c₂, ..., c„, ... Utworzony z nich nieskończony ułamek dziesiętny, tj. symbol

(2)    Cq, c_xc₂...c„...

należy traktować jako przedstawienie liczby rzeczywistej a.