1935182615

0.2. LICZBY RZECZYWISTE.

7

Dowod. Możemy oczywiście założyć że 0 < a < b, to korzystając z faktu że liczby naturalne N są zbiorem nieograniczonym w R istnieje no € N takie że

1

b — a

< n₀.

Niech

m₀ = max < m € N U {0} : — < a >

l    no J

wtedy mamy następujące nierówności:

mo +1 m₀ 1

a < ——— — —- H--< a + (b — a) — b

no n₀ no

co kończy dowód biorąc za c = ^mQ+1. ■

Twierdzenie 0.2.4 Jeśli a,b € Q i a < b, to istnieje c € R \ Q, takie że a < c < b.

Dowod. Tak jak w poprzednim dowodzie, możemy założyć że 0 < a < b. Oczywiście łatwo sprawdzić, że d := \f2 Q. Korzystając z nieogrniczoności N wl isnieje no £ N że

b — a

podobnie jak w poprzednim dowodzie niech

m₀ = max < m 6 N U {0} :

n\J2

wtedy mamy

. (mo + l)v^/2    mo\/2 , \/2 _    , „    ,    ,

a <-=--1--< a + (b - a) = b

n₀    n₀ n₀

3 kończy dowód naszego twierdzenia. H Otrzymujemy z powyższych twierdzeń wniosek.

Wniosek 0.2.1 Wniosek Jeścli a,b € R są liczbami rzeczywistymi a < b, to isnieją c £ R \ Q oraz liczba wymierna d 6 Q że

a < c <b oraz a < d < c.