0029

30

Liczby rzeczywiste

Jeżeli istnieje taka liczba wymierna r, że

<x^r = y ,

to r jest szukanym logarytmem. Załóżmy, że takiej liczby wymiernej r nie ma.

Można wówczas zbudować przekrój B\B' w zbiorze wszystkich liczb wymiernych według następującej reguły. Do klasy B zaliczamy liczby wymierne b, dla których o?<y, a do klasy B' — wymierne liczby b', dla których oc^b' > y.

Pokażemy, że klasy B i B' nie są puste. Na mocy nierówności (2)

a">l + n(a—l)>n(a-l),

i wystarcza obrać żeby było a">y; taka liczba naturalna n należy do klasy B'. Jednocześnie mamy

«-=!<—L-

a" n(a-l)

i wystarcza obrać

1

n>-_,

y(a-l)

żeby było a~”<y i żeby liczba — n należała do klasy B.

Pozostałe warunki związane z przekrojem są także spełnione.

Utworzony przekrój B\B' określa liczbę rzeczywistą fi, która rozdziela liczby obu klas. Z określenia potęgi mamy

a^b<a?<a^b’ (b<P<b'),

przy czym a? jest jedyną liczbą spełniającą wszystkie podobne nierówności. Ale liczba y spełnia (na podstawie samej konstrukcji przekroju) nierówność

u^b<y«x^b'.

A zatem

a?=y i ^=log_ay ; istnienie logarytmu zostało udowodnione.

21. Mierzenie odcinków. Niemożność przyporządkowania wszystkim odcinkom miary wymiernej była również jednym z ważniejszych powodów dla wprowadzenia liczb niewymiernych. Pokażemy teraz, że przeprowadzone rozszerzenie zbioru liczbowego wystarcza dla rozwiązania zagadnienia mierzenia odcinków.

Przede wszystkim sformułujemy samo zagadnienie C¹):

O Posługujemy się tu szkolnymi informacjami z geometrii i nie formułujemy odnoszących się do nich aksjomatów.