27900

zespolonych, f jest różniczkowalna w p. x₀<=> istnieje taka liczba a, że f(x₀+h)=f(x₀)+h*a+h* £(x₀;h) dla dostatecznie małych h gdzie x₀;h) jest funkcją taką, że    ⁼ ®;

Jeżeli warunek ten jest spełniony, to f’(x₀)=a Wniosek: Jeśli f jest różniczkowalna w p. x₀, to jest ciągła w punkcie x₀.

TW. O POCHODNEJ FUNKCJI ZŁOŻONEJ: Jeżeli funkcja g jest różniczkowalna w punkcie *o ■ 9(*o)⁼ *4) * funkcja f jest różniczkowalna wt^, to ( f og)(x) = f(g(x))jest różniczkowalna wx₀ i f’(g(x₀))=f(g(x₀))g’(x₀). Niech f będzie określona , ciągła i ściśle monotoniczna w pewnym otoczeniu punktu x₀ i niech f posiada w otoczeniu p. x₀pochodną f’(x₀)*0, wtedy funkcja odwrotna f 'posiada pochodną w punkcie y₀ równą f(y₀) i (f ^l)(y₀ 1

⁾⁼ f (* o)

88. Ekstremum lokalne funkcji, warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego, tw. Roiła, tw. Lagrangea,

tw. Cauchy’ego, warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego przy pomocy pierwszej pochodnej.

TW. O EKSTREMUM LOKALNYM FUNKCJI: Niech funkcja f o wartościach rzeczywistych będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x₀€ R (x₀-a, x₀+a), a>0. Mówmy, że funkcja f ma w p. x₀ maximum lokalne, gdy istnieje taka liczba d>0, <?<a, że jeżeli |x -x₀|<<? to f(x)śf(x₀). Mówimy natomiast, że funkcja f ma wp. x₀ minimum lokalne, gdy istnieje taka liczba d>0, że |x -x₀|<<9=> f'(x)>f(x₀).Jeśli w określeniach zmienimy nierówności na ostre, to mówimy o maksimum/minimum lokalnym właściwym.

WAR. KONIECZNY ISTNIENIA EKSTR. LOKALNEGO:

Jeżeli funkcja f o wartościach należących do R, określona w pewnym otoczeniu p. x₀ i mająca pochodną w p x₀. posiada ekstremum lokalne w p. x₀, to pochodna f’(x₀)=0.

TW. ROLLA:

Jeżeli f o wart. należących do R jest ciągła w <a,b>, a*b i różniczkowalna w (a,b) oraz f(a)

= f(b), to istnieje taki punkt £e(a,b), że f'(£

>=0.

TW. LAGRANGEA:

Jeżeli funkcja rzeczywista f jest ciągła w <a,b> oraz jest różniczkowalna w (a,b), to istnieje liczba c €(a,b) taka, że f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

TW. CAUCHrEGO O WART. ŚREDNIEJ: Jeżeli funkcje figo wartościach rzeczywistych są ciągłe i różniczkowalne w (a,b) oraz g’(x)*0 w (a,b), to istnieje taka liczba £ € (a,b),że:

n&₌m-na)

9'{Ę)    9(b)-gia)

TW. O MONOTONICZNOŚCI FUNKCJI:

Niech f o wari rzeczywistych będzie różniczkowalna w każdym przedziale (a,b)

(1) f. niemalejąca, iff f'(x) >0 (2) f. nierosnąca iff f’(x) £0

(la) f. rosnąca iff f’(x) >0 (2b) f. malejąca f(x)<0

WARUNEK DOSTATECZNY ISTNIENIA EKSTREMÓW LOKALNYCH:(pierwsza poch.) Niech f o wart. rzecz, będzie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktux₀ ,

(1)    jeśli

3 f'(x) >Odlax₀ - d< x <x₀ / f'(x) ^ 0

<fc>0

dla x₀ < x < x + d, to funkcja ma maksimum lokalne w p. x₀

(2)    jeśli

3 f'(x) <Odlax₀ - d< x <x₀ / f\x) > 0

^0

dla x₀ < x < x + d, to funkcja ma minimum lokalne w p. x₀

WARUNEK DOSTATECZNY ISTNIENIA EKSTREMÓW LOKALNYCH:

Załóżmy, że funkcja f posiada pochodną n-tego rzędu f⁽ⁿ⁾ w punkcie x₀ i w otoczeniu punktu jest określona oraz f’(x₀) = f’(x₀) = ...

= f⁽"‘^l,(x₀) = 0 natomiast f^{n\x)*0.

Jeżeli n jest liczbą parzystą, to funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x₀,przy czym:

(a) f^tn\x_Q)>0    minimum lokalne

(b)    f^ln)(x_Q)<0    => maximum lokalne

Jeżeli n jest liczbą nieparzystą ^ brak ekstremum

91. WZÓR LEIBNITZA NA N-TĄ POTĘGĘ ILOCZYNU

k-o ^k

TW. TAYLORA Z RESZTA PEANO:

Jeżeli funkcja jest określona w otoczeniu p. x₀ o wartościach rzeczywisych, ma pochodną n-tego rzędu w p. x₀, to dla (n)<S zachodzi równość

I! 2!    (n-1)! n! n!

£(i₀,/i)-)0 da Ii-ł0 Szereg McLaurena