0025

26

Liczby rzeczywiste

Jeżeli w udowodnionej nierówności zastąpimy fi przez — fi, to otrzymamy

\ct-fi\^\a\ + \fi\.

Ponieważ oc=(a+fi)—fi, więc |a] < |a+/?| + \fi\, czyli

\* + P\>\<x\-\fi\-

Analogicznie

Ponieważ jednocześnie i więc oczywiście

Wszystkie te nierówności będą użyteczne przy teorii granic.

§ 4. Dalsze własności i zastosowania liczb rzeczywistych

18. Istnienie pierwiastka. Potęga o wykładniku wymiernym. Definicja mnożenia (i dzielenia) liczb rzeczywistych prowadzi bezpośrednio, jak zwykle, do określenia potęgi o całkowitym dodatnim (i ujemnym) wykładniku. Przechodząc do potęgi o ogólnym wykładniku wymiernym zatrzymajmy się przede wszystkim nad istnieniem pierwiastka.

Jak pamiętamy, brak w zbiorze liczb wymiernych najprostszych pierwiastków posłużył za jeden z powodów do rozszerzenia tego zbioru; sprawdzimy w jakiej mierze przeprowadzone rozszerzenie rozwiązało stare problemy (nie wprowadzając nowych).

Niech a będzie dowolną liczbą rzeczywistą, a n niech będzie liczbą naturalną.

Jak wiadomo, pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby a nazywamy taką liczbę rzeczywistą £, że

<T=<x.

Ograniczając się do przypadku a dodatniego będziemy szukali dodatniego i spełniającego ten związek, tj. tzw. arytmetycznej wartości pierwiastka. Udowodnimy, że taka liczba £ zawsze istnieje, i to dokładnie jedna.

Ostatnia teza co do jednoznaczności liczby ę wynika zresztą od razu z tego, że różnym liczbom dodatnim odpowiadają różne potęgi: jeżeli 0<£<£', to <f<£'"•

Jeżeli istnieje taka liczba wymierna r, której n-ta potęga równa się a, to jest ona szukaną liczbą £. Dlatego wystarcza ograniczyć się do założenia, że takiej liczby wymiernej nie ma.

Utwórzmy teraz przekrój X\X' w zbiorze wszystkich liczb wymiernych w następujący sposób. Do klasy Xzaliczmy wszystkie ujemne liczby wymierne i zero, a także te z dodatnich liczb wymiernych x, dla których < a. Do klasy X' zaliczmy dodatnie liczby wymierne x', dla których x'ⁿ>a.