0009

10

Liczby rzeczywiste

Jeżeli sformułować to twierdzenie dla liczb dodatnich a i b, to sprowadza się ono do istnienia takiej naturalnej liczby «, że

a + a + ... + a = a-n>b.

n razy

Nierówność ta przy wykorzystaniu zbadanych już własności liczb wymiernych okazuje się równoważną nierówności: n>bfa. Oznaczając iloraz b/a przez c, otrzymujemy powyższe sformułowanie.

§ 2. Wprowadzenie liczb niewymiernych. Relacja uporządkowania w zbiorze liczb rzeczywistych

6. Definicja liczby rzeczywistej. Zakładamy, że dany jest zbiór liczb wymiernych, o wszystkich własnościach wyliczonych w § 1.

Podamy teorię liczb niewymiernych, korzystając z teorii Dedekinda. Podstawą tej teorii jest pojęcie przekroju w zbiorze liczb wymiernych. Rozważmy podział zbioru wszystkich liczb wymiernych na dwa niepuste (tj. zawierające chociaż po jednej liczbie) zbiory A, A'. Nazwiemy taki podział przekrojem, jeżeli spełnione są warunki:

1° każda liczba wymierna należy do jednego i tylko do jednego (') ze zbiorów A lub A';

2° każda liczba a zbioru A jest mniejsza od każdej liczba a' zbioru A'.

Zbiór A nazywamy dolną klasą przekroju, a zbiór A' — górną klasą przekroju. Przekrój będziemy oznaczali przez A\A'.

Z definicji przekroju wynika, że każda liczba wymierna mniejsza od liczby a dolnej klasy, należy również do dolnej klasy. Podobnie, każda liczba wymierna, większa od liczby a' górnej klasy, sama także należy do klasy górnej.

Przykład 1. Określmy A jako zbiór wszystkich liczb wymiernych a, spełniających nierówność a<1, a do zbioru A' zaliczamy wszystkie liczby a',-dla których a'^l.

Łatwo sprawdzić, że w ten sposób rzeczywiście otrzymujemy przekrój. Liczba 1 należy do klasy A', i jest oczywiście najmniejszą liczbą w tej klasie. Z drugiej strony, nie ma największej liczby w klasie A, bowiem dla dowolnej liczby a w klasie A zawsze można wskazać liczbę wymierną a_Y, leżącą pomiędzy nią a jednością, a więc większą od a, i również należącą do klasy A.

Przykład 2. Do dolnej klasy A zaliczmy wszystkie liczby wymierne a, mniejsze lub równe 1, «<1; do górnej klasy — liczby wymierne a', większe od 1, a!> 1.

Jest to także przekrój, przy czym tutaj w klasie górnej nie ma liczby najmniejszej, a w klasie dolnej jest liczba największa (mianowicie 1).

Przykład 3. Zaliczmy do klasy A wszystkie dodatnie liczby wymierne a, dla których a² <2, liczbę 0 i wszystkie liczby wymierne ujemne, a do klasy A' — wszystkie dodatnie liczby wymierne a', dla których a'²> 2.

(‘) Żądanie, żeby każda liczba wymierna należała do tylko jednej z klas, wynika zresztą z warunku 2