0021

22

Liczby rzeczywiste

Ze względu na dodawanie zbiór liczb rzeczywistych, ma więc wszystkie podstawowe własności II. l°-5°, które formułowaliśmy początkowo w ustępie 3 dla liczb wymiernych. Wynika stąd, źe liczby rzeczywiste mają te dalsze własności, które bezpośrednio wynikają z podanych przez rozumowania logiczne. W szczególności, możemy dla liczb rzeczywistych powtórzyć literalnie wszystko, co powiedziano w ustępie 3 po podaniu II grupy własności, tj. można dowieść istnienia i jednoznaczności różnicy <x—j5 liczb a i /?, wprowadzić pojęcie wartości bezwzględnej liczby a (którą oznaczamy ponownie przez |a|) itd.

14. Definicja iloczynu liczb rzeczywistych. Przejdźmy do mnożenia liczb rzeczywistych, ograniczając się z początku do liczb dodatnich. Niech dane będą dwie takie liczby a i fi. Również tutaj rozważymy wszystkie możliwe liczby wymierne, spełniające nierówności (1), ale z założenia dodatnie.

Iloczynem aft dwóch dodatnich liczb rzeczywistych a i P nazywamy taką liczbę rzeczywistą y, która zawiera się pomiędzy wszystkimi iloczynami postaci ab z jednej strony i wszystkimi iloczynami a'b' z drugiej strony

(3)    ab<y<a'b'.

Aby udowodnić istnienie takiej liczby y, rozważmy zbiór wszystkich możliwych iloczynów ab; jest on ograniczony z góry przez dowolny z iloczynów postaci a'b'. Jeśli przyjmiemy

y = sup{ab},

to oczywiście ab^y, ale także y^a'b'.

Możliwość powiększenia liczb a, b i zmniejszenia liczb a', b’ (tak jak w przypadku sumy) pozwala wykluczyć tu znak równości, a więc liczba y spełnia definicję iloczynu.

Jednoznaczność iloczynu wynika z następujących rozumowań. Dobierzmy w myśl uwagi z ustępu 9 liczby wymierne a, a' i b, b' tak, żeby było

a' — a<e i b' — b<e,

gdzie e jest dowolnie małą dodatnią liczbą wymierną. Można przy tym założyć, że liczby a i b są dodatnie, a liczby a' i V nie przewyższają odpowiednio pewnych ustalonych liczb a'₀ i b'₀. Wówczas różnica spełnia nierówność

a'b'—ab — a'(b' — b) + b(d — a)<(a'₀ + b'₀) e,

tj. również może być uczyniona dowolnie małą O, co na podstawie lematu 2 wystarcza dla stwierdzenia, że nierówności (3) mogą być spełnione tylko przez jedną liczbę y.

Jeżeli dodatnie liczby a i p są obie wymierne, to ich zwykły iloczyn y=afi spełnia oczywiście nierówności (3), tj. otrzymany w ten sposób iloczyn jest zgodny z iloczynem dwóch liczb rzeczywistych otrzymanym na drodze ogólnej definicji. ¹

1

Zauważmy, że iloczyn (a'₀+fci)e staje się mniejszy niż dowolna liczba e'>0, jeśli przyjąć e<e'l(a'₀+b'₀).