3784497983

12 Jarosław Wróblewski

Jeżeli liczba ran jest podzielna przez 24, to jest podzielna przez 2, a ponieważ 2 jest liczbą pierwszą, co najmniej jeden z czynników ra, n jest podzielny przez 2. Stąd d = 2 spełnia warunki zadania. W analogiczny sposób stwierdzamy, że warunki zadania są spełnione przez d= 3.

Liczba d — 4 jest złożona i wymaga nieco innego podejścia. Jeżeli liczba ran jest podzielna przez 24, a więc w konsekwencji przez 8, to czynnik 2 wchodzi do rozkładu liczby ran na czynniki pierwsze z wykładnikiem równym co najmniej 3.

Jeżeli

m = 2^a ■ (iloczyn potęg nieparzystych liczb pierwszych), n = 2^b ■ (iloczyn potęg nieparzystych liczb pierwszych), to

ran = 2^a+b • (iloczyn potęg nieparzystych liczb pierwszych),

a przy tym, jak ustaliliśmy, a + b ^ 3. Stąd a ^ 2 lub 6^2, a w konsekwencji odpowiednio ra lub n jest podzielne przez 4.

Odpowiedź: Liczbami spełniającymi warunki zadania są 1, 2, 3 i 4.

Zadanie 8. Dowieść, że liczba \/2 jest niewymierna.

Rozwiązanie

Przeprowadzimy dowód nie wprost. Załóżmy, że liczba y/2 jest wymierna i niech ra/n będzie jej przedstawieniem w postaci ilorazu względnie pierwszych liczb naturalnych. Wówczas otrzymujemy kolejno:

V2=-,

n

2=^,

2n² = ra² .

Stąd wynika, że liczba ra² jest parzysta, a co za tym idzie, liczba ra jest parzysta. Podstawiając m = 2k otrzymujemy:

2n² — {2k)², n² —2k² ,

co z kolei prowadzi do wniosku, że liczba n jest parzysta.

Zatem obie liczby ra, n są parzyste, co stoi w sprzeczności z założeniem, że liczby te są względnie pierwsze. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że liczba \[2 nie jest liczbą wymierną.

Zwróćmy uwagę, że w tym dowodzie nie wykorzystywaliśmy twierdzenia o jednoznaczności rozkładu liczb naturalnych na czynniki pierwsze, a jedynie skorzystaliśmy z faktu, że liczba naturalna i jej kwadrat mają tę samą parzystość.