CCF20090321065

jest ważne, jeżeli maksymalna liczba rzutów jest określona, tzn. nie może przekroczyć liczby n, niezależnie zresztą od przyjętej wartości n. Inaczej ma się rzecz, jeżeli liczba rzutów jest nieskończona w matematycznym sensie tego słowa, tzn. jeśli jest wielkością zmienną, która dla każdej partii ma wartość w pełni określoną, a tym samym skończoną, która jednak w jakiejś nowej partii może okazać się większą od jakiejkolwiek danej liczby. Taką właśnie wielkość nazywa się nieskończonością potencjalną, odróżnianą od nieskończoności aktualnej, która również bywa przedmiotem rozważań matematyków i polega na łącznym ujęciu wszystkich liczb naturalnych (lub wszystkich wyrazów jakiegoś ciągu, których numerami są wszystkie kolejne liczby naturalne). Wspomnijmy tu, że słynne ^vsofizmaty Zenona z Elei, który dowodzi, że Achilles nie zdoła dogonić żółwia i że lecąca strzała trwa w bezruchu, stanowią w gruncie rzeczy krytykę pojęcia owej nieskończoności aktualnej.

Innymi słowy, abstrakcyjnie ujmując zagadnienie, Paweł może wygrać, jakakolwiek byłaby liczba maksymalna n rzutów: wystarczy przyjąć, że liczba partii przekracza 2n; nie może natomiast wygrać, gdy wartość n nie jest wyznaczona, ponieważ wymagałoby to efektywnego urzeczywistnienia nieskończoności serii kolejnych zwycięstw, a to jest rzeczą niemożliwą.

Można by zapewne lepiej wyjaśnić ten fakt, gdyby przedstawić sobie nieograniczoną serię rzutów złożoną z partii, z których każda kończy się rzutem wygranym przez Piotra. Możemy przedstawić taką nieograniczoną serię w postaci nieskończonego ciągu cyfr 0 i 1, gdzie cyfra 0 odpowiadałaby rzutom wygranym przez Pawła, a cyfra 1 rzutom wygranym przez Piotra. Zgodnie z prawem wielkich liczb, przy losowym doborze cyfr z takiego nieskończonego ciągu stosunek pomiędzy liczbą zer a liczbą jedynek dąży do jedności

(gdy liczba prób rośnie nieograniczenie), ponieważ szanse wylosowania zera i jedynki są równe. Mamy tam zatem nieskończenie wiele zer i nieskończenie wiele jedynek. Aby Paweł wygrał, wszystkie cyfry od któregoś miejsca począwszy musiałyby być zerami. Ale i w tym przypadku nigdy nie można by było stwierdzić, że Paweł wygrał, gdyż wymagałoby to urzeczywistnienia nieskończenie wielu losowań \ .

Rozważaliśmy dosyć szczegółowo rozmaite aspekty naszego zagadnienia, a to dlatego, że otrzymany rezultat wydaje się rzeczywiście osobliwy i bardziej jeszcze paradoksalny niż sam paradoks petersburski. Okazuje się bowiem, że chociaż gra pozostaje cały czas sprawiedliwa, Piotr może zapewnić sobie za pomocą swej taktyki podnoszenia stawki te same korzyści, co w grze petersburskiej, nie wypłacając w zamian Pawłowi ani jednego centyma.

Przyznane Piotrowi prawo wyznaczania stawki i przerywania gry w dowolnym momencie okazuje się zatem nadmiernym i niesprawiedliwym przywilejem, o ile zostaje on zastosowany w warunkach, w których na arenę wkracza potencjalna nieskończoność, tj. gdy maksymalna liczba rzutów w partii nie jest z góry ustalona lub, co na jedno wychodzi, gdy nie jest ustalona maksymalna wielkość stawki. To wprowadzenie potencjalnej nieskończoności wystarcza, aby gra sprawiedliwa zamieniła się w niesprawiedliwą.

Muszę się przyznać, że utrzymywałem w swoim czasie (w pewnej notatce na temat zakładu Pascala ^{1 2}), iż można rozpatrywać wartość graniczną na-

135

1

   Ponieważ liczba mieszkańców naszej planety jest skończona, można by zestawić wszystkie partie gry w orła i reszkę lub innych podobnych gier, jakie rozegrano w ciągu minionych stuleci i jakie zostaną rozegrane w przyszłości. Któż zgodziłby się na stwierdzenie, że wszystkie ruletki dają zawsze numery czerwone, a nigdy czarne?

2

   E. Borel Sur les probabilitćs clónombrables et le pari de Pascal, Comptes Rendues, 1947, t, 224, s. 77 n, (Przypis red. do wydania polskiego).