SCN
08

Wnioski

1.    Jeżeli układ równań AX = b nie jest kramerowski, to nie może być rozwiązywany powyższymi metodami.

2.    Do rozwiązywania układów równań liniowych, które nie są krame-rowskie, stosowane będą inne, specjalne, bardziej ogólne metody.

5.3.1. Strategie rozwiązywania dowolnych układów równań liniowych

I. Metoda Gaussa (metoda przekształceń elementarnych)

Definicja

c.    Dwa układy równań liniowych AX = b oraz A’X = b’

nazywamy równoważnymi jeżeli jeden z nich można przekształcić do postaci drugiego za pomocą przekształceń elementarnych.

Twierdzenie o układach równoważnych

Równoważne układy równań liniowych mają identyczne zbiory rozwiązań, co wynika stąd, że jeżeli dowolny układ równań liniowych przekształcić w dowolny sposób za pomocą przekształceń elementarnych, to zbiór rozwiązań tego układu nie ulegnie zmianie.

Sformułowanie metody Gaussa

Rozwiązanie układów równań liniowych AX = b metodą przekształceń elementarnych polega na przekształceniu tego układu do tzw. postaci kanonicznej oraz na odczytaniu rozwiązania z postaci kanonicznej.

Postać kanoniczna układu równań liniowych AX = b jest następująca: A” X = b”

gdzie:

D

®2

0_f - macierz zerowa.

D - dowolna macierz, E - macierz jednostkowa,

Uwagi

1.    Metoda Gaussa nie wymaga wcześniejszej weryfikacji zgodności rozwiązywanego układu równań liniowych.

2.    Sprzeczność układu w metodzie Gaussa wynika z postaci kanonicznej, poprzez wystąpienie sprzecznego równania w postaci kanonicznej.

II. Metoda przekształcenia dowolnego układu równań liniowych do równoważnej postaci kramerowskiej

Każdy niesprzeczny układ równań liniowych AX = b można przekształcić do odpowiedniej postaci kramerowskiej, mającej taki sam zbiór rozwiązań jak wyjściowy układ równań liniowych. Tak przekształcona postać będzie nazywana równoważną postacią kramerowską. Rozpatrywana metoda może być sformułowana w postaci następującej procedury pięcioetapowej.

Etap 1

Wyznaczyć rząd rozpatrywanego układu równań liniowych AX = b, czyli:

r = rzA = rzU

Uwaga

Stwierdzenie na tym etapie faktu, że rzA * rzU oznacza sprzeczność rozpatrywanego układu, co kończy postępowanie, w przeciwnym

85