SCN
07

Wnioski

1.    Jednorodne układy równań liniowych są to układy równań liniowych szczególnego rodzaju.

2.    Dla jednorodnego układu równań liniowych: b = 0 (0 - wektor zerowy).

3.    Jednorodny układ równań liniowych ma postać: AX = 0.

4.    Dla każdego jednorodnego układu równań liniowych rząd macierzy współczynników jest równy rządowi macierzy uzupełnionej, czyli zgodnie z twierdzeniem Kroncckcra - Capellego wnioskujemy, że każdy układ równań liniowych jest zgodny, czyli ma rozwiązanie.

5.    Żaden jednorodny układ równań liniowych nie jest sprzeczny.

Dla jednorodnego układu równań liniowych mogą zachodzić dwa następujące przypadki szczególne:

a)    r = n

wtedy jednorodny układ równań liniowych AX = 0 jest oznaczony i ma dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest wektor zerowy: X° = {0};

b)    r<n

wtedy jednorodny układ równań liniowych AX = 0 jest nieoznaczony i ma nieskończenie wiele rozwiązań. Zbiór wszystkich rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych oznaczamy symbolem:

5K (A, 0) = {Xe Rⁿ; AX = 0}

Uwaga

Nie wymieniony wyżej przypadek r > n nie może wystąpić.

5.3. Metody rozwiązywania układu równań liniowych

Przyjmujemy następujące założenia.

Niech dla układu równań liniowych AX = b spełnione są następu-

1.    A = A n xn ^— macierz współczynników jest kwadratowa.

2.    rzA = rzU = n - macierz współczynników jest kwadratową macierzą rzędu pełnego.

Wtedy z teorii wyznaczników i teorii macierzy odwrotnych wynika, że:

a)    detA^O,

b)    istnieje macierz odwrotna A"¹.

Uwagi

1.    Układ równań liniowych spełniający powyższe warunki i mający wymienione własności nazywamy układem kramerowskim.

2.    Kramerowskie układy równań liniowych mogą być rozwiązywane następującymi metodami:

A. Metoda Cramera

Składowe rozwiązania w tej metodzie wyznacza się za pomocą następujących tzw. wzorów Cramera:

_ det A:

x =--

j det A

gdzie:

A j - macierz, która powstała z macierzy współczynników A przez zastąpienie j-tej kolumny, kolumną wyrazów wolnych b, czyli:

A j = [ k i, k 2,..., kj_i, b , k_j+i.....k „ ]

B. Metoda macierzy odwrotnej

Rozwiązanie tą metodą wyznacza się za pomocą następującego wzoru metody macierzy odwrotnej:

X = A"' • b

Sprawdzenie:

A ■ X = A • (A^-1 - b) = (A ■ A"¹) • b = Eb = b

83