56900 PC043394

Twierdzenie 1.16

aj Jeżeli liczba całkowita r * 0 jest pierwiastkiem wielomianu W o wsp^ czynnikach całkowitych, to r jest dzielnikiem wyrazu wolnego. ; 19

b) Jeżeli liczba wymierna dana w postaci ułamka nieskracalnego ■£, pjj e Ż\{0},jest pierwiastkiem wielomianu W o współczynnikach witych, to licznikp jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a mianownikdL dzielnikiem współczynnika

I Twierdzenie 1.17. Każdy wielomian H^o współczynnikach rzeczywistych^

(się przedstawić jako iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej drugiego,%•

^w(x)=<*n(^x~ h)^k' •••• (• [*² + Pi*+§|f+P*^x+il,)im I gdzie a_n * 0, k,e W, /, e N dla / = 1,2,..., r,j- 1, 2, ..„ s

Iorazpf - ty <0dlaj = 1, 2, ...,s ik; +k₂+k_r+2Qi +l^f »■ +l_s)=n.M

Wyznaczając pierwiastki wielomianu W stopnia n o współczynnikach całkowitych. możemy skorzystać z następującego schematu:

aj wykorzystująctwierdzenie 1.16, wypisujemy wszystkie liczby całkowitej^® mierne, które mogą być pierwiastkami danego wielomianu,

b)    sprawdzamy, czy wśród nich istnieje taka liczba r,, dla której W'(r,)=0. JeS tak, to jest ona jednym z pierwiastków tego równania i możemy przejął następnego punktu,

c)    wykonujemy dzielenie wielomianu W przez dwumian (x -r,)i zapisujempj W(x)=(x -r,j - Wfo), gdzie W_x jest wielomianem stopnia n -1 otrzymali jako wynik tęgo dzielenia,

d)    wykonujemy operacje opisane w podpunktach a), b), ć) dla wielomiamrjSI a znalazłszy r₂, takie że W^(r₂) = 0, zapisujemy go w postaci:

W_l(x) = (x~r^W_i{x),

e)    operacje opisane w punktach a), b), c) powtarzamy dotąd,-aż w wynikudzit-lenia uzyskamy wielomian stopnia drugiego, którego pierwiastki możemy ! wyznaczyć w oparciu o wzory dla funkcji kwadratowej lub do monetu, gdy żadne z liczb nie spełnią warunku W_Y[r) = 0.

W praktyce, wyznaczając miejsca zerowe funkcji wielomianowej, łączymy punkty b) oraz c) z powyższego schematu poprzez wykorzystanie tzw. schematu Homera.

Wykonując dzielenie wielomianu:

W (z) =a„xⁿ+a_n_₁xⁿ-¹ + a„_|pfCf +...+    + a₂x + a₀

przez dwumian (z - r) (co na podstawie twierdzenia 1.15 jest równoważne spraw': dzeniu, czy liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W), tworzymy tabelę. J

W jej pierwszym wierszu wpisujemy kolejno wszystkie współczynniki wielomianu W.

		V 1	V2		^a2		0 ?3
r:						_

W wierszu drugim zapisujemy, znalezione w wyniku operacji opisanych poniżej, współczynniki fc, dla i=0,1,n -1 wielomianu który jest wynikiem dzielenia W przez (x - r), czyli jest wielomianem stopnia n -1.

Najpierw współczynnik przy największej potędze, czyli a_n. wpisujemy do kolumny drugiej i w ten sposób uzyskujemy współczynnik przy największej potędze wielomianu W

Kolejne Współczynniki wielomianu W_x otrzymujemy jako wartości wyrażenia =r b_i + ą dla i = 1,2,n -1, czyli:

		Vi	^fl„-2 \		1 1 a-, a, an
r	0“ • ^11e>	^2 =	| II , -i + II j		---! bt = bf,= 1 ... =r-b2-ra2\ =r j ^0 J* |

Jeżeli wyrazw ostatniej kolumnie drugiego wiersza, czyli r ■ b₀ +0# wynosi 0, to W dzieli się przez (x-r) bez reszty, a wynikiem tego dzielenia jest wielomian o współczynnikach b_n_,, b„,₂, —, ó„ b_Q.

Jeżeli r -b₀ +a₀ * 0, to W nie dzieli się przez (x - r), co oznacza, że r nie jest pierwiastkiem wielomianu W

Przykład 1.93

W celu wykonania dzielenia wielomianu W(x)=2r⁴-3x²+4x-12przez dwumian (x + 2) tworzymy tabelę, której pierwszy wiersz wypełniamy kolejno wszystkimi współczynnikami wielomianu fV, czyli a₄ = 2, a₃ = 0, a₂ = -3, a, = 4 oraz a₀ = -12. Otrzymujemy wówczas: