120793

Twierdzenie 4 Liczba c jest pierwiastkiem wielomianu f. gdy wielomian x — c dzieli wielomian f.

Definicja 6 Liczba c jest pierwiastkiem p-krotnym wielomianu f, gdy

1.    istnieje wielomian g taki, że f(x) = (x — c)^pg(x);

2.    nie istnieje wielomian U dla którego byłoby f(x) = (x — c)^p+lh(x).

Twierdzenie 5 Wielomian stopnia k ma co najwyżej k pierwiastków, suma ieh krotności jest niewiększa od k.

Twierdzenie 6 (algorytm Euklidesa) Niech /(x) = ao +    + a2X² + ... +

a*_|X*^-1 + a*x*, a*. jź 0 i g będą wielomianami. Wtedy istnieją jednoznacznie wyznaczone wielomiany h i r takie, że g(x) — f(x)h(x) + r(x) i stopień wielomianu r jest mniejszy niż k.

Każde równanie stopnia n o współczynnikadi całkowitych

ao +aix + a2X² + ... +afc_|X^fc“^ł +a*x* = 0, a*. / 0,

można przez podstawienie x = •£- sprowadzić do równania postaci

ł\) + b\x + 6jx² +... + bk-ix^k * + x^k = 0.

Przykład 4 Niech g(x) = lx³ + x² - 2 i /(x) = 3x + 1. Znaleźć wielomiany h i r.

Twierdzenie 7 (Zasadnicze twierdzenie algebry) Jeśli f jest wielomianem o współczynnikach zespolonych, którego stopień jest większy bądź równy 1. Wtedy f ma pierwiastek w zbiorze liczb zespolonych.

Twierdzenie 8 Jeżeli powyższe równanie o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny, to jest on liczbą całkowitą będącą dzielnikiem wyrazu wolnego ao-

Twierdzenie 9 Jeśli wir.omian f jest równy zero dla x — c, to wielomian ten jest podzielny przez x — c.

Przykład 5 Rozwiązać równanie: 2x⁴ + 7x³ - 2x² + 7x — 4 = 0.

Ponieważ a._t = 2, więc podstawimy

skąd

y^l    J/³

2— + T— 2‘    2³

•1 = 0.

2