DSC07311

44

Wielomiany

podane warunki:

a)    liczba 1 jest pierwiastkiem podwójnym, a liczby 2, 3. I + i są pierwiastkami pojedynczymi tego wielomianu:

b)    liczba 2 - 3i jest pierwiastkiem podwójnym, u liczba 2 + 3» jest pierwiastkiem poczwórnym tego wielomianu.

Rozwiązalne

W rozwiązaniu wykorzystamy twierdzenie o przedstawianiu wielomianu zespolonego w p—iloczynu dwumianów. Jeżeli liczby zespolone zj, tj, .z_m są pierwiastkami ■ńkaniami W o krotnościach odpowiednio fci, ba,..k_m, to

W(x) = c(r - n)‘‘ - (z - za)**    *•)*“ ,

pł»i> c € C \ {0} jest współczynnikiem tego wielomianu przy najwyższej potędze.

a)    Przykładem wielomianu spełniającego podany warunek jest wielomian postaci:

IT(z) =cC= - l)⁷ - C* - 2) - (z - 3) • (z - (1 +*•)),

gdzie c € C\ {0}. Wielomiany tej postaci są jedynymi wielomianuini najniższego stopnia, które spełniają ten warunek.

b)    Przykładem wielomianu spełniającego podany warunek jest wielomian postaci:

W(z) = c|* - (2 - 3i)l^a • [z - (2 + 3i))⁴ ,

gdzie f f C {0}- Wielomiany tej postaci są jedynymi wielomianami najniższego stopnia, ictóze spełniają ten warunek.

• Przykład 2.9

Podać przykłady wielomianów rzeczywistych najniższego stopnia, które spełniają podane warunki:

aj liczby 0. 3 oraz —i są pierwiastkami pojedynczymi tego wielomianu; b) liczby i + 2i, —5 są pierwiastkami pojedynczymi, liczba 0 jest pierwiastkiem podwójnym, a liczba —3t jest pierwiastkiem potrójnym tego wielomianu.

Rozwiązanie

W "ir. u-j.i i wykorzystamy twierdzenie o pierwiastkach zespolonych wielomianu rze-ezywotego Jeżeli liczba zespolona Zo jest pierwiastkiem fc-krotnym wielomianu rzeczy--istego, to liczba zo także jest pierwiastkiem J:-krotnym tego wielomianu. Wykorzystamy także iw ierdzenie o przedstawiani u wielomianu rzeczywistego w postaci iloczynu dwumianów lub tłójnsianó** rzeczywistych. Jeżeli liczby xj, xj, ..., x_r aą pierwiastkami rzeczywistymi wrijnanu rzeczywistego W o krotnościach odpowiednio Arj. fca, kr oraz kazby zespolone z;. zs- . -    z,, gdzie Imzy > 0 dla 1 < j < a. są pierwiastkami

śwnrnśr zespolony nu lego wielomianu o krUażcitch odpowiednio /i, l_a....... to

łWz) - «(*-*«)*' (z -za)** •-..(* -*r)*'

/• fz* 1    4-7i)** -(** +paz +<»)*^a •... (z* +//»* + </.)'* ,

gdzie 4 € >. (Oj jeU. współczynnikiem wielomianu W przy najwyżazej potędze, a liczby Pt 7;. Pi, p, . . p«. 'O określone przez równości

PJ * -2Re ty, r/y = Jzyf* dla 1 4 j 4 a.

Przykłady

45

a)    Ponieważ liczba —i jest pojedynczym pierwiastkiem zespolonym szukanego wielomianu rzeczywistego, więc także liczba —i = i jest jego pierwiastkiem pojedynczym. Przykładem wielomianu rzeczywistego najniższego stopnia, którego pierwiastkami jednokrotnymi są liczby: 0,3, i, —i jest wielomian

W (z) — ax{x — 3) (z — »)(x + i) = ox(z — 3) (z* +1) ,

gdzie a e R \ {0}. Wielomiany tej postaci są jedynymi wielomianami rzeczywistymi stopnia 4, których pierwiastkami są liczby 0,3,i, -i.

b)    Ponieważ liczba 1 + 2i jest pojedynczym pierwiastkiem zespolonym szukanego wielomianu rzeczywistego, więc także liczba I + 2r = 1 — 2i jest jego pierwiastkiem pojedynczym. Podobnie, skoro liczba — 3i jest potrójnym pierwiastkiem zespolonym tego wielomianu, więc także liczba — 3: = 3i jest jego pierwiastkiem potrójnym. Przykładem wielomianu rzeczywistego najniższego stopnia, którego pierwiastkami pojedynczymi są liczby: — 5,1 + 2i, 1 — 2i, pierwiastkiem podwójnym jest 0, a pierwiastkiem potrójnym są liczby 3i oraz -3; jest wielomian

W(x) = «z⁵(i + 5) [z - (l + 2i)| [z - (1 - 201' (* - 30* • (* + 30*

= ax³{x + 5) (z* — ?x + 6) (z* + 9)* ,

gdzie a £ ffi \ {0}. Wielomiany tej postaci są jedynymi wielomianami rzeczywistymi stopnia 11, które mają wymienione wyżej pierwiastki wielokrotne.

$ Przykład 2.10

Podane wielomiany zespolone przedstawić w postaci iloczynu dwumianów: a) iz* —4; b) z³ - 3z³ + 3z~ 1 + Si; c) z* - (1 - i)*.

Rozwiązanie

Wykorzystamy twierdzenie sformułowane w rozwiązaniu Przykładu 2.8.

a)    Szukamy pierwiastków wielomianu iz³ — 4 = i (z² + 4i). Pierwiastkami tego wielomianu są liczby si = i/5(l - i), za = — \/2(l' - i). Zatem

iz³ - 4 = i [z - v% - 0] [z + v/2(l - 0] •

b)    Szukamy pierwiastków wielomianu z³ — 3e² + 3z - 1 + 6i = (z — l)^s + 8i. Zbiór pierwiastków tego wielomianu pokrywa się ze zbiorem 1 + i/— Si. Korzystając ze wzoru na pierwiastki z liczb zespolonych otrzymamy

zi = I + 2i, *a = 1 - (\/5 + i) oraz zj = 1 + (v^3 - i).

Zatem

z³ - 3z* + 3z - 1 + 8i = [z - (1+ 2i)l ■ [z - (l -    - •')] ■ [z - (l +1/3 -i)].

c)    Szukamy pierwiastków wielomianu z⁴ - (1 - i)⁴. Korzystając dwukrotnie ze wzoru a³ — b³ = (o -I- t)(a — 6) otrzymamy

z⁴ - (1 - i)⁴ = [** + (1 - «)*] p - (1 - <)*]