DSC07313

48

Wielomiany

Ułamki proste

Przykład 2.12

Podane funkcje wymierne (rzeczywiste lub zespolone) rozłożyć na sumy wielomianów oraz funkcji wymiernych właściwych:

1 z* .. 3ar^,‘+2i^ar-l 2=3+-_3^{: b}* x> + x3 - x ^-Rozwiązanie

a)    Po podzieleniu wielomianów z® : (2:³ + : — 3) jak w Przykładzie 2.2 otrzymujemy¹

1,1    3 . _.. 1 ,    3 , 9 _

iloraz-: —- i resztę    Zatem

2    4    4    4    2    4

-⁶    - 1.3 _i.    3 :^a — 6- -I- 0

2:³ + z — 3    2    4    4    4(2z* +z-3)'

b)    Mamy

3r* + 2x~ — 1 _ 3 (^J< 4- x³ — x) — 3x^ł + 3x + 2x³ — 1    -3x^ł + 2x^a + 3x - 1

X* — X* — X    X* + X³ — X    X* + X³ — X

Przykład* 2.13

Zaproponować rozkłady podanych zespolonych funkcji wymiernych właściwych na zespolone ułamki proste (nie obliczać nieznanych współczynników):

. _3ix__    (1 — i)*⁴ + iz³ + z — 5i

(z + l)»(z2₊l)^a:    ’ z⁴ (z + (1 — 2i)I~ (z MS)

Rozwiązanie

gdzie a, A € C oraz n 6 N.

A

Zespolone ułamki proste mają postać:    ———

a) Wielomian w mianowniku funkcji wymiernej rozważanej w tym przykładzie ma następujący rozkład na zespolone czynniki nicrozkladalne

(z + U* (z⁷ + 1)' = (z + !>?:(* + i)\z - i)⁷.

■t} ■

Zatem szukany rozkład zespolonej funkcji wymiernej ma postać

3ćz    _ A B    C D E F G

(: + l)»(s + i)^a(z-i)^s fj*T *.fo41)²    C*+1)* Z + « (z +I)³ z~i {z

gdzie .ń. B,____G 6 C. Postać tego rozkładu wynika z twierdzenia o rozkładzie zespo

lonej funkcji wymiernej właściwej na zespolone ułamki proste. Współczynniki zespolone A.B.....C tego rozkładu są wyznaczone jednoznacznie.

b) Rozkład zespolonej funkcji wymiernej rozważanej w przykładzie na zespolone ułamki proste ma postać

<1 -»><    :-Si _ X B i ^C I ^D l -    -    -

z*\z + (l -20|ⁱ(*-5)    * ⁺ z⁷ + ** ^+    + * + (1 - 2») ⁺ \z + (1 - 2i))³ ' z - 5’

gdzie A. B,C, D, E, F.G € C. Postać tego rozkładu wynika z twierdzenia o rozkładzie zespolonej funkcji wymiernej właściwej na zespolone ułamki proste. Współczynniki zespolone A.B.... .C tego rozkładu są wyznaczone jednoznacznie.

Przykłady

49

• Przykład 2.14

Zaproponować rozkłady podanych rzeczywistych funkcji wymiernych właściwych na rzeczywiste ułamki proste (nie obliczać nieznanych współczynników):

- *3 + 1    x“ - 7x® + 3x^a - 5

³⁾ x(x + l)³ (x= -I-1)¹    ' (x^a — O)² (x* + 2x + O)³'

Rozwiązanie

Rzeczywiste ułamki proste pierwszego rodzaju mają postać

7—;—r-, gdzie n,.4 € R oraz n € N.

(x + a)ⁿ

Rzeczywiste ułamki proste drugiego rodzaju mają postać

.    .—vr> gdzie p, q. A, B G R oraz n € N,

(a# + px +

przy czym spełniony jest warunek A = p^a — 4<j < 0. Twierdzenie o rozkładzie rzeczywistej funkcji wymiernej właściwej na rzeczywiste ułamki proste orzeka, że każda taka funkcja jest sumą rzeczywistych ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju. Nieznane współczynniki określone są jednoznacznie.

a)    Ponieważ wielomian w mianowniku rozważanej funkcji wymiernej jest przedstawiony w postaci iloczynu rzeczywistych czynników nierozkladalnych, więc szukany rozkład na ułamki proste ma postać

x⁸-x^a + l _ A B    C    D Ex+F

x(x + l)³ (i³ + l) X X + 1 • (x+ 1)3 ⁺ (X+ 1)3 ⁺ *3 + l ’

gdzie współczynniki rzeczywiste A,B.....F są określone jednoznacznie.

b)    Wielomian w mianowniku rozważanej funkcji wymiernej ma następujący rozkład na rzeczywiste czynniki nierozkladalne

(x^a - 9)² (x^a + 2x + G)³ = (x - 3)^a(z + 3)² (x³ + 2x + 6)*.

Zatem rozkład rozważanej funkcji wymiernej na rzeczywiste ułamki proste ma postać

x* - 7x⁸ + 3j- - 5    ₌ A    B    C    D

(®* - 0)^a (x^ł + 2x + 6)³    x-3 ⁺ (®-3)3 ⁺ x + 3 ⁺ (® + 3)3

Ex + F    Gx + H    Ix + J

*3+2x + 6 (*3 ₊ 2* + 6)^a    (x* + 2x + 6)³ ’

gdzie współczynniki rzeczywiste A, B,.... J są określone jednoznacznie.

• Przykład* 2.15

Podane zespolone funkcje wymierne właściwe rozłożyć na zespolone ułamki proste: iz + 9    z -I- 3    _% 2z⁴ + S=² + 32

*^a + 0^;    1 (*-l)(*^a + l)^{: C)} z (s³ + 4)^a •