4514

Wielomiany

Piąty tydzień - przykłady

55

A

NMf

[x³-x + l] [z* + * + |J .

• Przykład 5.5

podane funkcje wymierne (rzeczywiste lub zespolone) rozłozyc na sumy wielomianów oraz funkcji wymiernych właściwych: z*    3*⁴ + 2x*-l

aPTTTs* '    '

Rozwiązanie    .    .

a)    Po podndcAiu wielomianów **: (2x* + a - 3) jak w Przykładzie 4.2 otrzymujemy iloraz jr*-|*+ j ireazte |x²- |* +1. Zatem

Z*    I j 13 z² - 6z -f 9

2P + Z-3    2* I* ' 4 ⁺ 4(2=3+^-3)’

b)    Urny

3»* 12z* -1 ₌ 3(z*łx³-x)-3z^>-f3g + 2z^a-l -3z^a -f- 2x* + 3z ^1- * 1'tz¹-!    x«+i³-z    “    ⁺    z«+z*-x

• Przykład 5.6

Zaproponować rozkłady podanych zespolonych funkcji wymiernych właściwych na zespolone ułamki proste (nie obliczać nieznanych współczynników): _a) ^iiz    .. (1 - »)x⁴ -f »x³ + * —5i

(r+iPfrHl)²' ^(^(l-SOna-S)*

Rozwiązanie

Zopoloae staniki proste mają postać: r"y, gdzie o.A € C oraz n € N a) Wie-

^,0raun " «w*a°»sike funkcji wymiernej rozważanej w tym przykładzie ma następujący rozkład na mpołone czynniki nierozkładalne

(* + 1)’ (x^a + 1)* - (x + I)*(z + if{z - i)\

Z*««« iznkany rozkład zespolonej funkcji wymiernej ma postać

iii

lT+lH« + ś)»(x-i)>

gdńe A, B... - ,G € C. Posiać tego roekladu wynika z twierdzenia o rozkładzie zapfr loncj funkcji wymiernej właściwej na iwpolone ułamki prualc. Współczynniki zapolonz A,B.....G tego rozkładu są wyznaczone jednoznacznie.

b) Rozkład zespolonej funkcji wymiernej roewaianej w przykładzie na zespolone ułamki proste ma postać

(i - »V *³+*-*»' A ■ B . C D E    F    C

X* (z + (1 - 2i)f (* - 5)    * z⁷ ** »• * + (» “ 2.) (z + (1 - 2 *)J* z -5*

gdzie A, B, C. D, E,F,G € C. Postać tego rozkładu wynika s twierdzenia o rozkładzie zespolonej funkcji wymiernej właściwej na zespolone ułamki proste. Współczynniki zespolone A, Ii.....G togo rozkładu są wyznaczone jednoznacznie.

• Przykład 5.7

Zaproponować rozkłady podanych rzeczywistych funkcji wymiernych właściwych na rzeczywiste ułamki prosto:

x⁵-r³+ 1    _M x⁸ — 7;c^s + 3z^a — 5

^a) x(x+l)³(x2+ l)^;    ' (*2-9)^?(x^J+2x + 6)^a

Rozwiązanie

Rzeczywiste ułamki proste pierwszego rodzaju mają postać

gdzie a.AęR oraz n € A^T.

Rzeczywiste ułamki proste drugiego rodzaju mają postać

7 '**+**-.-, gdzie p,q,A, B € R oraz n ę N,

(x^a + j»x +ę)

przy czym spełniony jest warunek A = p⁷ — Aq < 0. Twierdzenie o rozkładzie rzeczywistej funkcji wymiernej właściwej na rzeczywiste ułamki proste orzeka, że każda taka funkcja jest sumą rzeczywistych ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju. Nieznane współczynniki określone są jednoznacznie.

a) Ponieważ wielomian w mianownika rozważanej funkcji wymiernej jest przedstawiony w postad iloczynu rzeczywistych czynników nierozkładalnych. więc siąkany rozkład na ułamki proste ma postać

r» - x³ +1 A . B _L C _A D    _A E* + F

x(r + 1)* (*> + 1) “ x ⁺ z + 1 ⁺ (x + 1 )* ^ (z + l)³    ** + l

gdzie współczynniki rzeczywiste A, B,. -., F są określone jednoznacznie, b) Wielomian w mianowniku rozważanej funkcji wymiernej ma następujący rozkład na rzeczywiste czynniki nicrozkładalne

(z* - O)² (*² + 2x + 6)³ = (z - 3)*(z + 3)* (z* + 2* + «)*

Zatem rozkład rozważanej funkcji wymiernej na rzeczywiste ułamki proste ma postać

»*-7a»+3x²-5    A , B    C    £

(z³ - 9)^S (x³ + 2x + 6)⁵    z - 3 ⁺ (z - 3)» z + 3 (x + 3)³

E* + F    Gr + If , /x +J

x³+2*+« ^ (z³ + 2z + «r (** + 2« + «)* ‘

gdzie współczynniki rzeczy wiste A, Ii,...../ są określone jednoznacznie.