4528

12

Maciorze i wyznaczniki

Siódmy tydzień - przykłody

83

( i l i X 4 2 2 ...    2

1 2 i r.,.    3

I 2 3 ... n-l I 2 3 ... n-l

1

2

3

n-l

n

- 1, n - stopień wyznacznika.

Rozwiązanie

a) Obfczymy najpierw wartości wyznacznika IKi dla » a i orna n • 2. Mamy If, ■ |5| - 5 = 3¹ - 2*

p||

Żalem mór IV_% = 3**¹ - 2'^1+ł jest prawdziwy dla ■ = 1 i n « 2. Niech n > 2 będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że rozważana tożsamość jest prawdziwa dla n — 1 oraz s. Wykażemy jej prawdziwość dla n + l. Rozwijając wyznaczniki stopnia n+ 1 wzglądem pierwszego wierna i następnie rozwijając dragi z otrzymanych wyznacznkdw względem pierwszej kolumny dostaniemy

4

5 3 0 0 .	. 0 0		5 3 0.	. 0 0		2 3 0 .	. 0 0
2 5 3 0.	.00		2 5 3.	. 0 0		0 5 3.	. 0 0
0 2 5 3.	. bo		0 2 5 .	. 0 0		0 2 5 .	. 0 0
		= 5.			-3-
0 0 0 0 ..	.5 3		0 0 0 .	. 5 3		0 0 0.	. 5 3
0 0 0 0 ..	2 5|		0 0 0.	. 2 5	1 0 0 0 .		. 2 5

wyznacznik rozwijamy względem pierwszej kolumny. Zatem

V*fi

"3-»l

“a-"!

"n+l “ "J

111..	1		•gjn,
122..	2	'%	3|
123..	3	Sl-	3
123..	n -	ii —	n-l
123..	Tl —	n	»
123.. ■	91 —	n	n + l
III.	Sje	. |	ł:
011.	. i	%	’ i'
012.	. 2	i
012.	. n —	2 n —	2 n —

0 1 2 ... n — 2 n — 1 n — 1 012...n — 2n — i n

11.	.111
12.	.222
12.	. n - 2 n - 2 n - 2
1 2.	•n-2n-ln-l
12.	. n — 2 n — 1 n

Korzystając teras z założenia indukcyjnego V* = 1, otrzymamy równość = i. z zasady indukcji wynika, że badana tożsamość jest prawdziwa dla każdego n € N.

• Przykład 7.5

Nie obliczając wyznaczników znaleźć rozwiązania podanych równań

l + x	Cii.	l	1
2	pT	2	2
4	6- *	4	4
■ 6	Jli	6	X

Rozwiązanie

n) Pierwsze równanie jest równaniem wielomianowym z wielomianem stopnia trzeciego. Łatwo zauważyć, że pierwiastkami tego równania są liesby xi ■ 0, u e 2, xj = 6. Ponieważ równanie trzeciego stopnia ma co najwyżej trzy pierwiastki rzeczywiste, więc są to jedyne pierwiastki tego równania.

b) Drugie równanie jest równaniem wielomianowym z wielomianem stopnia szóstego. Łatwo zauważyć, że pierwiastkami tego równania są: *i = -I. rj = 1 (pierwsza kolumna jest dla tych pierwiastków proporcjonalna do czwartej); za = -V5. z* * v5 (druga kolumna jest dla tych pierwiastków proporcjonalna do czwartej); *% * -3, z# ■ 3 (trzecia kolumna jest dla tych pierwiastków proporcjonalna do czwartej). Ponieważ równanie

6

X^3	A .	9	3
-1	1 - x^3	-9	-3
-fi	4	9	3
i		X^3	3

1

3 ... 0 0 2 5 ... 0 0

- SW'*

0 0 ... 5 3 0 0 ... 2 5

Korzystając teraz z założenia indukcyjnego otrzymamy dalej

W_m+i = 5W« -    *= 5 (3"^+ł - 2^n+l) - 6 (3ⁿ - 2") = 3*t* - 2"⁺³.

Z zasady indukcji wynika, że badana tożsamość jest prawdziwa dla każdego n G N. b) Obbezamy wartość wyznacznika V_H dla n =a 1. Mamy V\ = |1| = 1. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że rozważana tożsamość jest prawdziwa dla liczby n-Wykażemy jej prawdziwość dla liczby n + l. W wyznaczniku K,+i od elementów drugiego. tnebego,..., n +1 wiersza odejmujemy elementy pierwszego wiersza, a otrzymany