4527

80

Macierze i wyznaczniki

Siódmy tydzień • przykłady

81

gdne D,, oznacza dopełnienie il(rbniaae elementu a., tej macierzy, tj. wyznacznik macierzy powstałej przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny tej macierzy, pomnożony prze* (-l)¹*’- Podobnie wygląda wzór nn rozwinięcie Lap!acc’a wyznacznika względem j-tej kolumny

delvt * «u Dij + atj Dij. +-...+ a_n,D_nf. a) Rozwinięcie rozważanego wyznacznika względem drugiej kolumny ma postać

4

li i    -i j⁺⁶'("^|)^lł,J ] o j-

b) Rozwinięcie rozważanego wyznacznika względem czwartego wiersza ma postać

1 -1 M

3    2 -~31

■ 2    3 l

Poszukiwany wyznacznik jest zatem równy 1 - 4 + (—3) • 25 * —71. b) Drugi wyznacznik obliczymy stosując rozwinięcie LapUce'* względem czwartej kolumny. Mamy

(2+4 + 18)-(8-6-3) = 25.

4

‘ £    4

2 -3 -1 1 i 3

-5    0 -1

3    2    0

5 0 -1 2 0

4    0 I

o i

2-(-ir

2 -3    5    -1

-1    1    2    3

0 - 3    4.    1

-5    0-1 2i

2 3 4 1 -2 5 -1 -4 0 0    2    7

1 2    3 41

(-3H-1)**¹    1 -2 5 +0 (-l)^,+a |?|

|-1 -4 0|

1	2 4 1	| 1	2	3
0	I 5 |+7-(-!)«+« 1	0	1	-2
6	-J 0 |	6	-1 —1

W wyznaczniku występującym w drugim iloczynie nie ma potrzeby wypisywania wszystkich elementów, gdyż ten iloczyn i tak będzie równy 0.

• Przykład 7.3

Stosując rozwinięcie Laplacc'a obliczyć podnne wyznaczniki. Wyznaczniki rozwinąć względem wiersza lub kolumny z największą liczbą zer.

	1	-i	2	0
»)	0 3	1    m 2    -2		-3 4	; b)
	2	$	i	1

3	2	0
5	0	-1
2	0	3
4	0	• i
-1	0	2

Otrzymany wyznacznik czwartego stopnia obliczymy stosując rozwinięcie LapUce'a względem trzeciego wierna. Mamy

2 -1 0	-3 1	5 2	-1 3		2	5	-ii . .•	2-3-11
	3	4	1 •2	= 3-(-!)*♦’	-1	2	3 + 4-(-l)?*^a	-1 1 31
-5	0	-I			-5	-1	21 ’	-5 0 21

Rozwieranie

a) Pierwszy wyznacznik obliczymy stosując wiersza. Mamy

rozwinięcie Laplace’a względem drugiego

i	-1	2	0
0	1	0	-3
3	2	-2	4
2	3	1	1

1 ^1 2	^0 1	1 -1		2 1
*(-l)^w 3 -2	•» +(-3)(-l)^łł4	3	2	-2 I
12 1	1 1	2	3	1 1

2-3 51

+1(-1)>* -1 l 21.

-S 0 -||

Otrzymane wyznaczniki trzeciego stopnia obliczymy za pomocą reguły Sartusa. Mamy

(8 - 75 - ])- (10 - fi -10) - -62.

= (4 + 45 + 0) — (5 + 0 + fi) = 38,

1= (—2 + 30 + 0) — (—25+0 — 3) ■ 56.

Poszukiwany wyznacznik jest zatem równy

(—^s)I(->) ■ (-MJ+4 ■ 31+ (-,). 5G) = _₅₆,.

Przykład* 7.4

Korzystając z zasady indukcji matematycznej uzasadnić podane tożsamoici:

%	5	-1
-i:	2v	3
	-1	2
2	-3	-1
-1		3
-5	0\	2
2	-3	5
	i	2
-5	6	-1

Do obliczania wyznaczników trzeciego stopnia zastosujemy regułę Sarruaa. Mamy

1    2 0 1

3-2 4 =(-2+16 + 0)-(0 + 4 + 0)-. 4.

2    J 1 I

a) W_n =

5	3	0 ..	. 0	0
2	5	3 ..	. 0	0
0	2	5.	.. 0	0
0	0		.. 5	3
0	0	6 ^	2	5

= 3^n+I_

2ⁿ+t

• n - stopień wyznacznika;