Macierze i wyznaczniki

Macierze i wyznaczniki

Przykłady

Macierze - podstawowe określenia

• Przykład 3.1

a)    Zaproponować opis, w formie macierzy złożonej z liczi) całkowitych, położenia pionków w grze w warcaby.

b)    Każde ze 150 państw eksportuje oraz importuje towary do oraz z pozostałych państw. Zaproponować zapis w formie jednej macierzy, wielkości eksportu i importu w min $ między tymi państwami. W jaki sposób, można odczytać z tej macierzy deficyt w handlu zagranicznym każdego z tych państw?

c)    Obraz na ekranie monitora komputerowego złożony z 1024 x 768 punktów można zapisać w postaci macierzy zero-jedynkowej. Przyjmując, że ekran mo- i nitora przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych, z początkiem j

układu w lewym górnym rogu tego ekranu, zapisać w formie macierzy zero-

X

jedynkowej, zbiór przedstawiający w przybliżeniu prostą y = —=.

v 3

Rozwiązanie

a) Położenie pionków w grze zapiszemy w formie macierzy o 8 wierszach i 8 kolumnach. ,1 Jeżeli w i-tym wierszu i w i-tej kolumnie szachownicy, gdzie 1 ^ i 8 oraz 1 ^ j ^ 8

1)    nie stoi żaden pionek, to przyjmujemy, że aa = 0;

2)    stoi biały pionek, to przyjmujemy, że «y = 1;

3)    stoi czarny pionek, to przyjmujemy, że ay = — 1;

4)    stoi biała damka, to przyjmujemy, że ay = 2;

5)    stoi czarna damka, to przyjmujemy, że Oy = — 2.

Ponieważ w warcaby gra się tylko na czarnych polach szachownicy, więc w każdej macie- ; rzy opisującej położenie pionów mamy «y = sdy * + Ó jest liczbą parzystą.

Uwaga. Zastosowany przez nas zapis jest inny niż w notacji szachowej. W tej notacji kolumny szachownicy oznacza się literami a,b, •    ¹ uzat o e\u.j kolumny, a wiersze I

liczbami 1,2,.... 8 licząc od dolnego wiersza.

Niżej podajemy przykład pozycji warcabowej i    nie macierzy.

przykłady

	•		•		•		ą
•				•
					^:		1
ir		p
ó		p.		O

63

0	-1	0	-1	0	-1	0	2 •
-1	0	0	0	-1	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0
-2	0	1	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	0	0	0 .

b) Każde ze 150 państw ustawionych według alfabetu numerujemy kolejnymi liczbami naturalnymi:

1 -	Afganistan,
2 -	Albania,
3 -	Argentyna,
4 -	Australia,
5 -	Austria,
150 -	Zair.

Elementy ńy- macierzy H opisującej handel zagraniczny między tymi państwami są określone wzorem

_h _ f 0    dla i = j,

j wielkość eksportu państwa j do państwa i dla i # j,

gdzie 1 sj j,j <; 150. W macierzy H nie ma potrzeby podawania wielkości importu państwa i z państwa j, gdyż jest on równy eksportowi państwa j do państwa i. Deficyt w handlu zagranicznym państwa k, gdzie 1 k ^ 150, tj. różnica między eksportem a importem tego państwa do oraz z pozostałych państw, jest określony wzorem

{hki + hk2 + ■ ■ ■ + hk 150) — {hi k + h^ k + ■ • ■ + hlso k) ■

Inaczej mówiąc, deficyt tego państwa jest równy różnicy sumy elementów fc-tego wiersza i sumy elementów fc-tej kolumny macierzy H.

^c) ^mch C = fcy] oznacza macierz o 768 wierszach i 1024 kolumnach opisującą obraz na ekranie monitora komputerowego. Jeżeli punkt ekranu stojący w i-tym wierszu i w i-tej kolumnie

Elementy _Cy

świeci się, to przyjmujemy, że cy = 1; nie świeci się, to przyjmujemy, że cy - 0.

macierzy C opisującej wykres funkcji y =

—7=, x > 0, określone są wzorem v3