Macierze i wyznaczniki7

76

Macierze i wyznaczniki

Własności wyznaczników

,«n    3 o ii

• Przykład 3.11

Nie obliczając wyznaczników znaleźć rozwiązania podanych równań:

1 -1- X	1	1	1			X^2	4	9	3
2	2	2	2	= 0;	b)	-1	1-a;^2	-9	-3
4	6 - x	4	4			1	4	9	3
6	6	6	X			1	4	X^2	3

= 0.

Rozwiązanie

a)    Łatwo zauważyć, że wyznacznik po lewej stronie równania zeruje się dla x = 0 (pierwsza i trzecia kolumna są takie same); x = 2 (druga i trzecia kolumna są takie same); x = 6 (trzecia i czwarta kolumna są takie same). Ponadto z rozwinięcia Laplace’a wynika, że lewa strona równania jest wielomianem stopnia trzeciego. Ponieważ wielomian tego stopnia ma nie więcej niż trzy pierwiastki, więc 0, 2 i 6 są jedynymi pierwiastkami naszego równania.

b)    Jak powyżej łatwo zauważyć, że wyznacznik po lewej stronie równania zeruje się dla x = —1, x — 1 (pierwsza i czwarta kolumna są proporcjonalne); x = —\/5, x = (druga i czwarta kolumna są proporcjonalne); x = — 3, x — 3 (trzecia i czwarta kolumna są proporcjonalne). Ponadto z rozwinięcia Laplace’a wynika, że lewa strona równania jest wielomianem stopnia szóstego. Jak wiadomo wielomian szóstego stopnia ma co najwyżej sześć pierwiastków, więc wskazane powyżej liczby są jedynymi pierwiastkami naszego równania.

• Przykład 3.12

Obliczyć podane

1	2	3
5	6	7
9	10	11
13	14	15

4

8

12

16

b)

wyznaczniki wykorzystując występujące w nich regularności:

-5	2	3	4	5
1	-4	3	4	5
1	2	-3	4	5
1	2	3	-2	5
1	2	3	4	-1

Rozwiązanie

a) Odejmując pierwszy wiersz od drugiego oraz trzeci od czwartego otrzymamy wyznacznik, w którym drugi i czwarty wiersz są takie same. Zatem

1	2	3	4		l	2	3	4
5	6	7	8	^u‘2 - “ 1	4	4	4	4
9	10	11	12	ułj — a-3	9	10	11	12
13	14	15	16		4	4	4	4

b) Wykonując wskazane operacje elementarne na wierszach i kolumnach otrzymamy

-5	2	3	4	5			-6	0	0	0	6
1	-4	3	4	5		—	0	-6	0	0	6
1	2	-3	4	5			0	0	-6	0	6
1	2	3	-2	5	"d.3 Łi.'4	-    U> 5 —    u.’t51	0	0	0	-6	6
1	2	3	4	-1			1	2	3	4	-1

¹ <*n f i ko + A-₄)    =

-6	0	0	0	0
0	-6	0	0	0
0	0	-6	0	0
0	0	0	-6	0
1	2	3	4	9

= 9 • (-6)⁴ = 11664.

Przykłady

77

• Przykład 3.13

Obliczyć podane wyznaczniki stopnia n > 2 wykorzystując występujące w nich regularności:

	1	2	3 .	. n		i	5	5	... 5
	-1	0	3 .	. n		5	1	5	... 5
a)	-1	-2	0 .	. n	; b)	5	5	1	... 5
	-1	-2	-3 .	. 0		5	5	5	... 1

Rozwiązanie

a) Dodając pierwszy wiersz kolejno do drugiego, trzeciego, ... i ostatniego wiersza otrzymamy macierz trójkątną górną. Wykorzystując następnie fakt, że wyznacznik takiej macierzy jest równy iloczynowi elementów stojących na głównej przekątnej otrzymamy

1	2	3
-1	0	3
-1	-2	■ O
-1	-2	-3

n

n

n

0

1 2 3 0 2 6 0 0 3

n 2 n 2n

= n!.

0 0 0

n

b) Najpierw do pierwszego wiersza dodajemy wszystkie pozostałe. Potem z pierwszego wiersza wyłączamy wspólny czynnik. Następnie pierwszy wiersz pomnożony przez 5 odejmujemy kolejno od wiersza drugiego, trzeciego, ..., i ostatniego. W wyniku tych operacji otrzymamy macierz trójkątną górną, której wyznacznik jest równy iloczynowi elementów stojących na głównej przekątnej. Zatem

1	5	5 ...	5
5	1	5 ...	0
5	5	1 ...	5
5	5	5 ...	1

' (^u-*2 + W3 -f . •U--J : (5n — 4)

+’ Wn)

(5n — 4) •

(5n - 4) •

1 1 1 ... 1 5 1 5 ... 5 5 5 1 ... 5

5 5 5 ... 1

111. 0-4    0 .

0    0-4

0 0 0

1

0

0

(5n — 4) • (—4)^n_1.