Macierze i wyznaczniki9

80

Macierze i wyznaczniki

Macierz odwrotna • Przykład 3.16

Korzystając z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej znaleźć macierze odwrotne do podanych:

			' 2	5	7
a) yl =	' 1 + t 1 ^1 1 - i	b) A =	6 5	3 -2	4 -3

Rozwiązanie

Wzór określający macierz odwrotną do nieosobliwej macierzy kwadratowej A stopnia n ma postać

yr¹ =

	r Dn	D12	D\n
1	D21	D22	Din
detyl	. Dn 1	Dn2

gdzie Dij oznacza dopełnienie algebraiczne elementu chj tej macierzy, a) Mamy

detyl = (l + i)(l -i) - l² = 1

oraz

£>„ = (-i)¹⁺¹ det [1 - i] = 1 - i, D12 = (—1)¹⁺² det [1] = -1,

Zatem

Dn = (-1)²⁺¹ det [1] = -1,    £>22 = (-1)²⁺² det (1 + i] = 1 + i.

1 1	‘ Dn	D\2	T 1	' 1 -i	-1	T	1 -i	-1
detyl	. d21	D22	1	-1	1+2		-1	1+2

b) Mamy

det A = [2 • 3 • (-3) + 5 • 4 ■ 5 + 7 ■ 6 • (-2)] - [7 ■ 3 • 5 + 2 • 4 ■ (-2) + 6 ■ 5 • (-3)] = -1 oraz

Du = (—1)^1+I

Dx 3 = (-l)¹⁺³ D22 = (-1)²⁺² Z?31 = (-1)³⁺¹ d₃₃ = (-1)³⁺³

3    4

-2 -3

5 -2

2    7 5 —3

5    7

3    4

2 5

6    3

= -l, -Di2 = (-l)¹⁺² = -27,    P₂₁=(-l)²⁺¹

= -41,    D₂₃ = (-1)²⁺³

= _1,    D₃₂ = (-1)³⁺²

6    4

5    -3

5    7

-2    -3

2 5

5    -2

2 7

6    4

= 38,

1,

= 29, = 34,

Zatem

/T¹

’Du	Dn Dn	T	■-1	38	-27'	T	' 1	-1	1'
D21	D22 D23	= —	1	-41	29	=	-38	41	-34
. Dn	D32 Dii.		.-1	34	-24.		27	-29	24

Przykład 3.17

Korzystając z metody

bezwyznacznikowej obliczyć macierze odwrotne do poda

nych:

			2 0 0 4 '
	^r 1 2 0'	; b)	0 0 0 1
a)	2 3 0 1-11		0 2 0 0
			-10 10

Rozwiązanie

Bezwyznacznikowa metoda znajdowania macierzy odwrotnej polega na wykonywaniu tych samych operacji elementarnych na wierszach macierzy wyjściowej oraz macierzy jednostkowej. Celem tych operacji jest sprowadzenie macierzy wyjściowej do macierzy jednostkowej. Macierz jednostkowa przechodzi wtedy na macierz odwrotną do wyjściowej.

oporctcj

a) Wykonując te same operacje na wierszach rozważanej macierzy oraz macierzy jednostkowej otrzymamy kolejno

' 1 2 0	1 0 0'		’1 2 0	1 0 0'
2 3 0	0 1 0	u'2 - 2uji	0-10	-2 1 0	utg ™ 3 ll'2
.1-11	0 0 1.		0 -3 1	-10 1.

1 0 0' -2 1 0 5-31.

1    2    0

0-10 0    0    1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

-3    2 0

2-10

5 -3 1

Zatem

' 1	2	0 '	-1	■ -3	2	0 '
2	3	0	=	2	-i	0
. 1	-1	1.		5	-3	1 .

b) Wykonując te same operacje na wierszach rozważanej macierzy oraz macierzy jednostkowej otrzymamy kolejno

' 2	0	0	4	1	0	0	0 '
0	0	0	1	0	1	0	0
0	2	0	0	0	0	1	0
. -1	0	1	0	0	0	0	1.

"1002 0 0 0 1	^00°' 0 10 0
0100	0 0 i 0	-- '2xon łi'4 - 2u'2
0 0 12	1 ^22° ^01-