Macierze i wyznaczniki9

1

1

80

Macierze i wyznaczniki

Macierz odwrotna

Przykład 3.16

Korzystając z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej znaleźć macierze odwrotne do podanych:

a) A =

		r 2	5 7 '
1 + i 1 1 1 - i	b) A =	1 03 O:	3 4 -2 -3

Rozwiązanie

Wzór określający macierz odwrotną do nieosobliwej macierzy kwadratowej A stopnia ma postać

/T¹ =

	r £>n	£>12	£>1 n.
1	£>21	£>22	£>2n
detyl	Dni	£>u2

a) Mamy

det .4 = (1 + ż)(l — i) - l² = 1

oraz

£>u = (-1)¹⁺¹ det [1 - i] = 1 - i, Dn = (-1)¹⁺² dct [1] = -1,

Zatem

£>21 = (-1)²⁺¹ det [1] = -1,    D22 = (-1)²⁺² det [1 + i] = 1 + i.

1 1	' £>n	£>12 1	T 1	’ 1 -»	-1	T	1-2	-1
det A	. d21	£>22	^_ 1	-1	l+i		-1	1 + i

b) Mamy

det A = [2 • 3 • (-3) + 5 ■ 4 • 5 + 7 • 6 ■ (-2)] - [7 ■ 3 • 5 + 2 • 4 ■ (-2) + 6 • 5 • (-3)] = '1

oraz

Dn = {-1)'⁺¹

£>13 = (~1)¹⁺³ £>22 = (-1)²⁺² £>31 = (-1)³⁺¹ £>33 = (-1)³⁺³

3    4

-2    -3

6 3 5 —2

2 7 5 -3

5 7 3 4

2 5 6 3

= -l, Di2 = (-l)¹⁺² = —27,    Z)2i=(-1)²⁺¹

= -41,    D₂₃ = (-1)²⁺³

₌ _1,    £>32 = (-l)³⁺²

6 4 5 -3

5    7

-2    -3

2 5 5 -2

2 7 6 4

= 38, = 1, = 29, = 34,

Zatem

zr¹

' Dli £>12 £>13 ‘	T	■-1 38 -27'	T	' i-i r
£*2i D-n £>23	= -	1 -41 29	=	-38 41 -34
. £>31 ć>32 £>33 .		.-1 34 -24.		27 -29 24

• Przykład 3.17

				2	0	0	4 '
' 1	2	0 '	; b)	0	0	0	1
2	3	0		0	2	0	0
1	-1	1		-1	0	1	0

Korzystając z metody bezwyznacznikowej obliczyć macierze odwrotne do podanych:

Rozwiązanie

Bezwyznacznikowa metoda znajdowania macierzy odwrotnej polega na wykonywaniu tych samych operacji elementarnych na wierszach macierzy wyjściowej oraz macierzy jednostkowej. Celem tych operacji jest sprowadzenie macierzy wyjściowej do macierzy jednostkowej. Macierz jednostkowa przechodzi wtedy na macierz odwrotną do wyjściowej.

operacje c;-:ropitame ; nu wiórkach

a) Wykonując te same operacje na wierszach rozważanej macierzy oraz macierzy jednostkowej otrzymamy kolejno

1    2    0

0-10 0    0    1

1 0 0 -2 1 0 5 -3 1

r i 20	1 0 01		ri 20	1 0 01
2 3 0	0 1 0	w 2 — 2u’i _>	0-10	-2 1 0	■M3 - 3u.'2
L i —i i	0 0 1 J		r—( CO 1 o	-1 0 1J

1 0 o 0 1 o 0 0 1

-3    2 0‘

2-10 5-31.

Zatem

' 1	2	0 '	-1	' -3	2	0 '
2	3	0	=	2	-1	0
. 1	-1	1 .		5	-3	1

b) Wykonując te same operacje na wierszach rozważanej macierzy oraz macierzy jednostkowej otrzymamy kolejno

2 0 0 4 0 0 0 1 0 2 0 0 -10 10

1 0 0 0 ' 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1

10 0 2 0 0 0 1 0 10 0 0 0 12

±000

0 10 0

00    Jo

1

2 ° ⁰¹