operacje c;-:ropitame ; nu wiórkach
1
1
80
a) A =
|
r 2 |
5 7 ' | ||
|
1 + i 1 1 1 - i |
b) A = |
1 03 O: |
3 4 -2 -3 |
Rozwiązanie
Wzór określający macierz odwrotną do nieosobliwej macierzy kwadratowej A stopnia ma postać
/T1 =
|
r £>n |
£>12 |
£>1 n. | |
|
1 |
£>21 |
£>22 |
£>2n |
|
detyl |
Dni |
£>u2 |
a) Mamy
det .4 = (1 + ż)(l — i) - l2 = 1
oraz
£>u = (-1)1+1 det [1 - i] = 1 - i, Dn = (-1)1+2 dct [1] = -1,
Zatem
£>21 = (-1)2+1 det [1] = -1, D22 = (-1)2+2 det [1 + i] = 1 + i.
|
1 1 |
' £>n |
£>12 1 |
T 1 |
’ 1 -» |
-1 |
T |
1-2 |
-1 |
|
det A |
. d21 |
£>22 |
_ 1 |
-1 |
l+i |
-1 |
1 + i |
b) Mamy
det A = [2 • 3 • (-3) + 5 ■ 4 • 5 + 7 • 6 ■ (-2)] - [7 ■ 3 • 5 + 2 • 4 ■ (-2) + 6 • 5 • (-3)] = '1
oraz
Dn = {-1)'+1
£>13 = (~1)1+3 £>22 = (-1)2+2 £>31 = (-1)3+1 £>33 = (-1)3+3
3 4
-2 -3
6 3 5 —2
2 7 5 -3
5 7 3 4
2 5 6 3
= -l, Di2 = (-l)1+2 = —27, Z)2i=(-1)2+1
= -41, D23 = (-1)2+3
= _1, £>32 = (-l)3+2
6 4 5 -3
5 7
-2 -3
2 5 5 -2
2 7 6 4
= 38, = 1, = 29, = 34,
Zatem
zr1
|
' Dli £>12 £>13 ‘ |
T |
■-1 38 -27' |
T |
' i-i r |
|
£*2i D-n £>23 |
= - |
1 -41 29 |
= |
-38 41 -34 |
|
. £>31 ć>32 £>33 . |
.-1 34 -24. |
27 -29 24 |
• Przykład 3.17
|
2 |
0 |
0 |
4 ' | ||||
|
' 1 |
2 |
0 ' |
; b) |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
2 |
3 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 | |
|
1 |
-1 |
1 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
Korzystając z metody bezwyznacznikowej obliczyć macierze odwrotne do podanych:
Rozwiązanie
Bezwyznacznikowa metoda znajdowania macierzy odwrotnej polega na wykonywaniu tych samych operacji elementarnych na wierszach macierzy wyjściowej oraz macierzy jednostkowej. Celem tych operacji jest sprowadzenie macierzy wyjściowej do macierzy jednostkowej. Macierz jednostkowa przechodzi wtedy na macierz odwrotną do wyjściowej.
operacje c;-:ropitame ; nu wiórkach
a) Wykonując te same operacje na wierszach rozważanej macierzy oraz macierzy jednostkowej otrzymamy kolejno
1 2 0
0-10 0 0 1
1 0 0 -2 1 0 5 -3 1
|
r i 20 |
1 0 01 |
ri 20 |
1 0 01 | ||
|
2 3 0 |
0 1 0 |
w 2 — 2u’i _> |
0-10 |
-2 1 0 |
■M3 - 3u.'2 |
|
L i —i i |
0 0 1 J |
r—( CO 1 o |
-1 0 1J |
1 0 o 0 1 o 0 0 1
-3 2 0‘
2-10 5-31.
Zatem
|
' 1 |
2 |
0 ' |
-1 |
' -3 |
2 |
0 ' |
|
2 |
3 |
0 |
= |
2 |
-1 |
0 |
|
. 1 |
-1 |
1 . |
5 |
-3 |
1 |
b) Wykonując te same operacje na wierszach rozważanej macierzy oraz macierzy jednostkowej otrzymamy kolejno
2 0 0 4 0 0 0 1 0 2 0 0 -10 10
1 0 0 0 ' 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1
10 0 2 0 0 0 1 0 10 0 0 0 12
0 10 0
1
2 ° 01
