Scan0053

6.4 Funkcja odwrotna 65

Twierdzenie 6.3 Dla funkcji f : X Y i zbiorów A, B C Y zachodzą, równości:

f-¹(AuB) = f-¹(A)Uf-¹(B), f~^l(A n B) = /^_1 (A)n /^_1 (B), rⁱ(A-B) = rⁱ(A)-rⁱ(B), (AcB)^f-'(A)c/-'(B).

Twierdzenie 6.4 Dla funkcji f : X —» Y i zbioru A C X zachodzą wzory:

fir^l(A)) = A,

AC /^-1 (/ (A)).

Twierdzenie 6.5 Dla funkcji różnowartościowcj f : X —» Y ?' zbiorów A C X zachodzi równość¹:

A = r¹u(A)).

6.4 Funkcja odwrotna

Dana jest bijekcja f : X —> Y. Wówczas każdemu elementowi rr e X odpowiada dokładnie jeden element y G Y i każdemu elementowi y € Y odpowiada dokładnie jeden element x £ X.

Definicja 6.9 Funkcję g : Y —> X nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f : X —> Y, jeżeli dla każdego x £ X zachodzi równość

9 (/ 0*0) = x.

Funkcję odwrotną będziemy oznaczać /    .

1

Dla funkcji, która nie jest różnowartościowa podana równość nie obowiązuje. Na przykład dla funkcji f (x) = |x| i zbioru A = {1} mamy / (A) = {1}, /^-1 (/(A)) = (-1,1}. Widać, że A ^ f~^l (f (A)).