KIF40

232. Dowiedź, że jeśli R jest relacją odwrotnie jednozm. i to dla dowolnych zbiorów A. B:

(a)    R(AnB)=R(A)r\R(B)

(b)    R(A-B)~R(A)-R(B)

233. Przeciw obrazem zbioru A wedle relacji R nazywamy zbiór przedmiotów, które do elementów zbioru A |X>7ostają w rdacji R. Ponieważ zbiór ten jest identyczny z obiazcm zbioru A wedle relacji 7ł, przyjmujemy dlań symbol: X(,4). Tak więc:

x e R(A)s \/ y[y e A a <x, y> e /?].

Na przykład, przeciwobrazcm zbioru podręczników lop • wedle rdacji bycia autorem jest zbiór osób, które są autorami podręczników logiki.

Wskaż przeciwobraz zbioru A wedle relacji R, gdy:

(a)    <4 =* zbiór członków ZHP, /?-relacja przynależności do tej samej organizacji;

(b)    ,4=zbiór osób, z których każda należy do ZHP i tylko do ZHP, R=>relacja przynależności do tej samej organizacji;

(c)    ,4= zbiór osób, z których pewne należą do ZHP (i tylko do ZHP), a pozostałe nic należą do żadnej organizacji,

relacja przynależności do tej samej organizacji; (dM- zbiór osób nic należących do żadnej organizacji. R=relacja przynależności do tej samej organizacji.

234. Jaki stosunek zachodzi między R(A) i 7?(.<4) w przypadkach (a)-(d) z zadania 233? Podaj przykład relacji R i zbioru A takich, że:

235.    Dowiedź w oparciu o odpowiednie definicje następujących twierdzeń rachunku zbiorów i relacji:

(a)    X(A) c D(R)

(b)    D(R) = X(D{R))

(c)    K(AvB)=R(A)vTi(B)

(d)    X(AnB) c X(,4)r>K(fl)

(c) X(A)-X(B) c X(A-B)

(0 A e B-*X(A) c Jł(B)

236.    Wykaż za pomocą kontrprzykładów, że podane niżej wyrażenia nie są twierdzeniami rachunku zbiorów i relacji

(a)    t(AnB)~K[A)nl<(B)

(b)    K(A-B)~7ł(A)-]<(B)

(c)    A H B^$(A) jj X(B)

(d)    A XB-+X(A) X *(*)

237.    Dowiedź, że jeśli R jest relacją jednoznaczną, to dla dowolnych zbiorów A, B:

(a)    $(Ar\B)=X(A)nTt(B),

(b)    Z(A-B)=n(A)-X(B).

238.    Niech a_lt o,, a,, a_t, <i_Ł będą dowolnymi przedmiotami i niech:

A’=-{a_l,a_J},

<h. Ot).

&={<<*!. <h>‘ <«I. <*3>. Oł- *>}.

o,), <<7₃, a,>. <flj. a*>. <fl,. <ti»

Wskaż następujące zbiory:

(a) R(A), R(B), S(A), S(B);

135