1109145211

Jeśli funkcja użyteczności u jest ciągła i ściśle rosnąca, to dla dowolnych cen p » O, dochodu I > O oraz użyteczności w, funkcja pośredniej użyteczności v : R'i* R -» R oraz funkcja wydatków e : R" x R -*■ R spełniają następujące równości:

1) e(p,v(p,I))=I,

2) v(p,e(p,u)) = u.

Uwaga

Gdy posługujemy sie jedynie polem preferencji, a nie funkcją użyteczności, to możemy zdefiniować popyt Hicksa jako odwzorownie o : R'ixR'i >-*■ R'i, (p,a) - <r(p,a), które wyznacza jednoznaczny element ze zbioru {x : a k x} minimalizujący (x,p), tzn.

a(p,a) = y o <y,p) = min«x,p) : a<x>Aa<y, gdzie a - koszyk towarów z X.

Gdy u jest funkcją użyteczności zgodną z relacją ń, to cr(p,a) = p(p,w(a))

Zbiór

{x g X : a i x,(x,p> < /(p) = (a,p».

jest niepusty i zwarty, a więc ciągła funkcja x »-► <x,p) jest minimalizowana w którymś punkcie tego zbioru, powiedzmy x. Zauważmy, że x jest wyznaczone jednoznacznie. Istotnie: weźmy x,y e X, x ± y i przypuśćmy, że obydwa minimalizują <x,p) na X, przy warunku xia. Bez straty ogólności możemy przyjąć x > y. Wtedy x h y, x *■ y pociąga za sobą y(x + y) ^ a, ze ścisłej wypukłości Ale y(x + y) * 0, bo x > 0, y > 0, x *■ y. Stąd, jeśli wybierzemy x g X tak, by spełniona była nierówność y(x + y) ^ ^{x oraz x} leży wystarczająco blisko y(x + y), to spełniony będzie warunek \ > a, z ciągłości Dla tak wybranego x, mamy (x,p) < <x,p) = (y,p), przy p » 0, więc x, y nie mają własności minimalności, sprzeczność. W rezultacie otrzymujemy, że wyżej zdefiniowane odwzorowanie a(p,a) jest odwzorowaniem jednowartościowym.

W tym przypadku twierdzenie 6.2 ma następujący odpowiednik. Twierdzenie 6.2’

Odwzorowanie o, dla p » 0, a > 0 ma następujące własności: ?;<r(p,a) = a,

2)    a(p,a) jest ciągłe ze względu na (p,a),

3)    dla każdego ustalonego a > 0 funkcja zmiennej p

p - .ftp,a) = (<7(p,a).p) = inf«x,p) : a x>,

3