57074 stat Page4 resize

34    3.4 Estymacja

Rozwiązanie: Jeśli Xi, X%,... ,X_n jest próbką z rozkładu normalnego, to gęstość łączna (i wiarygodność) wynosi

	L(9) — L(p,o) =	nL^F“^p({ 2<t^2 )){	(3.51)
Zatem
	ln(2ir) - nln<7 - — (xt-p)* ,		(3.52)
skąd	dl _ n 1 do o ^+ <T^3	^ j*^1 xf - 1p X( + niĄ |= 0	(3.53)
i jednocześnie dl _ dp		:i ” Xi-^ = 0 <=1	(3.54)
co prowadzi do rozwiązania układu i ENW o postaci
		p = X , ó^2 = ś^2 .	(3.55)
			o

3.4.5 Własności estymatorów

Jak pamiętamy z definicji, estymatorem nazywamy dowolną statystykę o wartościach w przestrzeni parametrów ©. Tak więc, zgodnie z definicją, estymatorem wartości oczekiwanej p w rozkładzie normalnym jest zarówno p = x, jak i p = 5. Zdroworozsądkowo jednak rzecz biorąc, tylko pierwszy z tych estymatorów jest „prawidłowy” i „odpowiedni” dla naszych potrzeb.

Definicja 3.27. Estymator g(Xi,..., X„) dla wielkości g(9) jest zgodny, jeśli dla każdego 9 € © zachodzi

Jim, P* (!$(*!,..., X_n) - g(9)\ < e) = 1 ,    (3.56)

dla każdego £ > 0. Estymator zaś jest mocno zgodny, jeśli dla każdego 9 € © zachodzi

P„ (jira    .., X„) = 9(0)) = 1 .    (3.57)

Czyli estymator jest zgodny (mocno zgodny), jeśli zachodzi zbieżność według prawdopodobieństwa (prawie na pewno).

Zgodnie z tą definicją, estymator zgodny (mocno zgodny) wraz ze zwiększaniem liczebności próbki zmierza „do tego, do czego powinien” - do estymowanej wielkości. Jak łatwo zauważyć, jest to właściwie minimalne wymaganie, jakie musimy postawić każdemu „rozsądnemu” estymatorowi.

Twierdzenie 3.28. Średnia z próbki x jest mocno zgodnym, estymatorem wartości oczekiwanej p(0) = E$ X. Wariancja (populacyjna i próbkowa) s² i Sq są mocno zgodnymi estymatorami wariancji Var*> X, o ile odpowiednie momenty dla danego rozkładu istnieją.