36097 stat Page0 resize

30

3.4 Estymacja

nasz mechanizm losowy. Bazujemy przy tym na wynikach doświadczenia losowego, czyli naszych obserwacjach Xi,..., X_n.

Definicja 3.15. Estymatorem nieznanego parametru 0 nazywamy dowolną statystykę T(Xi,..., X_n) o wartościach w zbiorze 0.

Estymator jest więc próbą zgadnięcia na podstawie obserwacji, ile wynosi wartość poszukiwanego parametru. Oczywiście chcielibyśmy, aby skonstruowany przez nas estymator odpowiednio dobrze przybliżał ów nieznany parametr 0.

Uwaga! Zazwyczaj estymator parametru 0 oznaczamy przez dodanie „daszka”, stąd 0 w tym przypadku. Ogólniej, jeśli g : 0 —> R jest pewną znaną i nidosową funkcją parametru, to estymator będziemy oznaczali przez g, ponieważ chcemy znaleźć przybliżenie g(0).

Przykład 3.16. W przypadku kontroli jakości, $ było parametrem w modelu statystycznym, który oznaczał prawdopodobieństwo pojawienia się wadliwego produktu. W takim, razie naturalnym przybliżeniem (estymatorem) nieznanego dla nas prawdopodobieństwa wydaje się być po prostu

e = ^ ,    (3.26)

czyli frakcja wadliwych produktów w losowej próbie n sztuk.

3.4.1 Momenty zmiennych losowych

Definicja 3.17. Wartością oczekiwaną (czasami też określaną jako średnią) zmiennej losowej X nazywamy liczbę E X określoną wzorem

EX = Xip_{    (3.27)

i=l

dla zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym, lub

E X = JJ^f(x)dx    (3.28)

dla zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym zdefiniowanym funkcją gęstości f{x), przy założeniu, że odpowiedni szereg lub całka są bezwzględnie zbieżne.

Często niezbędne jest obliczenie wartości oczekiwanej pewnej funkcji g(.) określonej jako funkcja zmiennej losowej X. Mamy wtedy odpowiednio

Eg(X)--

9(*i)pi

(3.29)

E_S(X)

/L(x)/(*)<& ,

(3.30)

znowu przy istotnym założeniu bezwzględnej zbieżności wyrażeń po prawej stronie wzorów. Ponieważ założenie to będzie się cały czas powtarzać w kolejnych definicjach, nie będziemy już go przywoływać.

(3.31)

Definicja 3.18. Wariancją zmiennej losowej X nazywamy VarX = D²X = E(X-EX)² .